МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
Электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра ФЭТ
Курсовая работа
По дисциплине «Электродинамика»
Тема: «РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН В НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ»
3 вариант
| Студент гр. 5207 | Курзенёв И.Н. | |
| Преподаватель | Дроздовский А.В. |
Санкт-Петербург
Задание на курсовую работу
| Студент Курзенёв И.Н. | ||||||||||||
| Группа 5207 | ||||||||||||
| Тема работы: «распространение электромагнитных волн в направляющих системах» | ||||||||||||
Исходные данные:
Таблица 1 – Исходные данные
| ||||||||||||
| Дата выдачи задания: 14.11.2017 | ||||||||||||
| Дата сдачи: | ||||||||||||
| Дата защиты: | ||||||||||||
| Студент | Курзенёв И.Н. | |||||||||||
| Преподаватель | Дроздовский А.В. |
Аннотация
Курсовая работа включает в себя расчет геометрических размеров волновода, предназначенного для работы в заданном диапазоне частот. Также, в работе исследовано влияние заполнения волновода диэлектриком, на волновое сопротивление, на фазовую и групповую скорости волны, на длину волны внутри волновода, а так же глубина проникновения сигнала в стенки волновода.
summary
Course work includes the calculation of the geometric dimensions of the waveguide intended for operation in a given frequency range. Also, in the study of cases of a waveguide by a dielectric, on wave resistance, on phase and group transmission of waves, on long waves inside a waveguide, and also on the depth of signal penetration into the walls of a waveguide.
содержание
Задание на курсовую работу 2
Аннотация 3
Содержание 4
Введение 5
1. Основные положения 6
2. Распространение электромагнитной волны в круглом волноводе 7
3. Глубина проникновения электромагнитного поля в проводник 12
Расчётная часть 13
1. Расчёт размеров круглого волновода 13
2. Построение силовых линий векторов электромагнитного поля 13
3. Дисперсионные кривые для всех мод 14
4. Зависимость волнового сопротивления от частоты 15
5. Исследование влияния диэлектрического заполнения на скорость 17
6. Исследование проникновения поля в стенки волновода 20
Вывод 22
Список литературы 23
Приложение 24
введение
Цель работы: исследование основных свойств волн, распространяющихся по замкнутым структурам (волноводам).
1. Основные положения
Направляющие устройства обеспечивают движение потока энергии, переносимой электромагнитной волной, в заданном направлении. В зависимости от вида направляющих устройств в них могут распространяться электромагнитные волны разных типов: чистопоперечные, или Т-волны (TEM-волны); электрические, или -волны (ТМ-волны); магнитные, или 
-волны (ТЕ-волны), а также гибридные волны. На данные типы электромагнитные волны подразделяются по наличию продольных (вдоль оси направляющего устройства) компонент полей. По отношения к координате, направленной вдоль оси направляющего устройства, в Т-волнах векторы E и H имеют только поперечные составляющие; в -волнах вектор E имеет поперечную и продольную составляющие, а вектор H – только поперечную; в -волнах вектор H имеет поперечную и продольную составляющие, а вектор E – только поперечную; в гибридных волнах оба вектора имеют и продольные, и поперечные составляющие.
По наличию в конструкции замкнутого проводящего экрана принято разделять направляющие устройства на открытые линии передачи и волноводы. Линии передачи, в конструкции которых имеется один или несколько проводящих экранов, ограничивающих область распространения волны, называют волноводами. По количеству изолированных проводящих поверхностей, входящих в состав конструкции направляющего устройства, различают односвязные, двухсвязные, многосвязные линии передачи и линии передачи нулевой связности. Так, прямоугольный (рис. 1) и круглый (рис. 2) волноводы относят к односвязным закрытым линиям передачи, а коаксиальный волновод (рис. 3) − к двухсвязным. Чистопоперечные волны могут распространяться только в двухсвязных или в многосвязных линиях передачи (причем как в открытых линиях, так и в волноводах); электрические и магнитные волны − в любых линиях передачи. Гибридные волны могут существовать в неоднородных линиях передачи (заполненных неоднородной средой).
Метод изучения волновых процессов в волноводах основан на решении уравнений Гельмгольца для комплексных амплитуд электрического и маг- нитного полей:
(1)
где 
− волновое число; 
, 
− диэлектрическая и магнитная проницаемости свободного пространства; 
и 
− относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости материала, заполняющего волновод.
Рисунок 1 – Прямоугольный волновод Рисунок 2 – Круглый волновод
Рисунок 3 – Коаксиальный волновод
Для того, чтобы решить уравнение (1) необходимо сформулировать граничные условия для компонент электромагнитного поля. Пусть проводящие элементы волновода изготовлены из идеального проводника, тогда граничные условия на внутренней поверхности стенки волновода 
имеют вид
(2)
где 
– внешняя нормаль к
2. Распространение электромагнитной волны
в круглом волноводе
Круглый волновод − односвязный закрытый волновод, поперечное сечение которого имеет форму круга радиуса 
(см. рис. 2). Уравнение Гельмгольца в общем виде в цилиндрической системе координат имеет вид
(3)
где 
− комплексная амплитуда электрического или магнитного поля. Решение уравнения (3) ищется в виде комбинации функций Бесселя первого рода и функций Бесселя второго рода (называемых функциями Неймана) порядка m (рис. 4) по радиальной координате r и тригонометрических функций по угловой координате 
.
Рисунок 4 – Графики функций: а – Бесселя 
; б – Неймана 
В общем виде решение уравнения Гельмгольца в цилиндрической системе координат для продольной компоненты поля имеет вид
(4)
Однако в силу условий физической задачи поле в центре волновода не может быть бесконечно большим, что навязывается значением функции Неймана при r = 0, следовательно, необходимо положить 
в (4). Кроме того, в (4) можем опустить 
. Так как начало отсчета угла может быть выбрано произвольно, выберем за начало отсчета полуплоскость 
, в которой 
имеет максимальное значение. Косинус имеет макси- мальное значение при 
, а синус при этом равен нулю. Перепишем (4) в соответствии с изложенными ранее соображениями:
Запишем граничные условия для электромагнитного поля на стенке волновода, выполненного из идеального проводника:
Решения уравнения (3) для электрических волн:
для магнитных волн:
В отличие от прямоугольного волновода в круглом волноводе поперечные волновые числа различны для электрических и для магнитных волн. Поперечные волновые числа для электрических волн находятся через корни функций Бесселя (
), а для магнитных – через корни производных функ- ций Бесселя (
):
Значения первых трех корней функций Бесселя и корней их производных приведены в табл. 2 и 3.
Таблица 2 – Значения корней функций Бесселя
Номер корня 
| 
| 
| 
|
| 2,405 | 3,832 | 5,135 | |
| 5,520 | 7,016 | 8,417 | |
| 8,654 | 10,173 | 11,620 |
Таблица 3 – Значения корней производных функций Бесселя
Номер корня 
|
|
|
|
| 3,832 | 1,840 | 3,054 | |
| 7,016 | 5,335 | 6,705 | |
| 10,174 | 8,536 | 9,965 |
Физический смысл индексов 
и , входящих в обозначение собственных мод круглого волновода. Индекс входит в качестве постоянного коэффициента в аргументы функций 
и , определяющих зависимость составляющих векторов 
и 
собственных волн волновода от пространственной переменной . Для выяснения общих закономерностей, определяющих зависимость этих составляющих от величины коэффициента , достаточно рассмотреть одну из данных функций, например .
При 
имеем 
и рассматриваемая составляющая не зависит от угла (силовые линии соответствующего вектора представляют собой окружности).
При 
зависимость от угла определяется функцией 
. В этом случае во всех точках диаметра 
рассматриваемая составляющая будет равна нулю. Следовательно, во всех точках диаметра будут находиться узлы (нулевые значения) указанной составляющей. Поэтому данный диаметр называют «узловым». При 
зависимость рассматриваемой составляющей от пространственной переменной определяется функцией 
и узловых диаметров будет два: 
и 
; при 
– три и т. д.
Таким образом, индекс m определяет число узловых диаметров составляющих векторов 
и 
собственных волн круглого волновода и показывает, какое количество узлов этих составляющих укладывается на половине окружности в поперечном сечении волновода.
Индекс опосредованно входит в аргументы функций Бесселя и их первых производных, которые определяют зависимость составляющих векторов и собственных волн круглого волновода от пространственной переменной . Величина дает информацию о числе корней этих функций, приходящихся на диапазон изменения переменной от 0 до 
.
Следовательно, величина определяет число узлов (нулевых значений) составляющих векторов и , укладывающихся вдоль радиуса волновода.
При 
узлы рассматриваемой составляющей будут находиться непосредственно на стенке волновода, поэтому величина (
) будет определять количество «узловых окружностей» составляющих векторов и собственных волн круглого волновода (окружностей, расположенных на плоскости поперечного сечения волновода, в каждой точке которых рассматриваемые составляющие равны нулю).
На рис. 5 приведены силовые линии векторов и для основной моды круглого волновода 
.
Рекомендации по графическому построению силовых линий векторов и в поперечном сечении круглого волновода. Знакомство с узловыми диаметрами и узловыми окружностями позволяет принять следующий порядок действий при построении картины силовых линий векторов и :
1) в соответствии со значениями индексов и в поперечном сечении волновода наносятся контуры узловых диаметров и узловых окружностей;
| 2) вдоль полученных «направляющих» наносятся силовые линии того вектора, который для данной собственной волны имеет только поперечные составляющие;
3) перпендикулярно полученным силовым линиям «поперечного» вектора наносятся силовые линии другого вектора, не являющегося для данной собственной волны чисто поперечным;
4) если силовые линии вектора выходят из стенок волновода или входят в них, то на границе раздела они должны быть перпендикулярны этим стенкам;
5) если силовые линии вектора проходят вблизи стенок волновода, то на границе раздела они должны быть параллельны этим стенкам.
|
Рисунок 5 – Силовые линии векторов  и  для волны 
|
3. Глубина проникновения электромагнитного
поля в проводник
Рисунок 6 – Падение электромагнитной волны со стороны вакуума
| Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна падает на поверхность, образованную неидеальным проводником, характеризующимся конечным значением удельной проводимости (рис. 6).
Электромагнитная волна может проникать на небольшую глубину в проводник и быстро в нем затухает. На глубине  амплитуда напряженности поля затухает в  раз.
|
Таблица 4 – Удельные проводимости некоторых металлов
| Материал |  , 1/(Ом*м)
|
| Ag | 
|
| Cu | 
|
| Au | 
|
| Al | 
|
Параметр 
принято называть скиновой глубиной, или глубиной проникновения волны в проводник. Толщина скин-слоя является функцией частоты:
В табл. 4 приведены значения удельной проводимости 
некоторых металлов.
Расчётная часть
1. Расчёт размеров круглого волновода для типа поля 
на диапазоне частот 
с воздушным заполнением.
Так как условие распространения волны в волноведе 
или 
, то в качестве критической частоты можно принять нижнюю границу рабочего диапазона частот 
. Критическая длина волны будет определяться по следующей формуле:
Зная критическую длину волны, можно определить радиус волновода из следующей формулы:
2. Силовые линии векторов заданного типа электромагнитного поля и силовые линии токов в поперечном и продольном сечениях волновода.
Структура заданного типа поля показана на рис.14 (приложение 1). Вариация поля по азимуту отсутствует, поле по радиусу изменяется по кривой функции Бесселя, в отличие от прямоугольного волновода, где поле изменяется по тригонометрической функции. Изменение поля в направлении распространения происходит по синусоидальному закону, со сдвигом фазы относительно поперечных составляющих на 
. На оболочке волновода (
) сохраняется только продольная магнитная компонента 
, которой соответствует азимутальный ток 
3. Дисперсионные кривые для всех мод, распространяющихся в волноводе с воздушным заполнением в рабочем диапазоне частот в координатах Бриллюэна.
Фазовая постоянная в линии обладающей свойством дисперсии:
где 
– волновое число в неограниченном пространстве. Учитывая воздушное заполнение (
):
Выразим зависимость 
:
Рассчитаем частоты всех возможных мод, и определим входящие в диапазон 
:
Таблица 5 – Частоты всех возможных мод
|  , ГГц
| ||
|
|
|
| |
| 29,99 | 14,4 | 23,9 | |
| 54,9 | 41,75 | 52,47 | |
| 79,61 | 66,8 | 77,98 |
В рабочий частотный диапазон входит только одна мода
|
|
Рисунок 7 – Дисперсионная кривая в координатах Бриллюэна
4. Исследование влияния материала диэлектрического заполнения волновода на его волновое сопротивление. Частотная зависимость волнового сопротивления волновода для заданного типа поля и заданного диэлектрика.
Волновое сопротивление собственных мод в волноводе любого сечения вводится как отношение поперечных к направлению распространения волны компонент комплексных амплитуд векторов поля волны:
где 
.
Из закона Снеллиуса:
где 
– показатель преломления.
Диэлектрическая и магнитная проницаемости сапфира соответственно:
Волновое число:
Подставим всё в формулу волнового сопротивления:
Построим зависимость волнового сопротивления от частоты для волновода с воздушным заполнением и диэлектрическим заполнением:
|
|
|
Рисунок 8 – Зависимость волнового сопротивления от частоты для волноводов
с воздушным заполнением и заполнением из диэлектрического материала.
1 – сапфир, 2 – воздух
5. Исследование влияния диэлектрического заполнения на фазовую скорость и длину волны в волноводе.
В общем случае, фазовая скорость:
При этом
Перепишем данное выражение
Выразим длину волны в волноводе
Так как 
, то фазовая скорость будет определяться следующим выражением:
Построим зависимость фазовой скорости от частоты и длины волны в волноводе от длины волны в вакууме:
|
|
|
Рисунок 9 – Зависимость фазовой скорости от частоты в волноводе с воздушным заполнением и в волноводе с заполнением из диэлектрического материала.
1 – сапфир, 2 – воздух
|
|
|
Рисунок 10 – Зависимость длины волны в волноводе от длины волны в вакууме
для волновода с воздушным и диэлектрическим заполнением.
1 – сапфир, 2 – воздух
Учитывая, что групповая скорость волны равна,
Можно показать:
Дифференцируем, учитывая соотношение 
, получаем:
|
|
|
|
|
Рисунок 11 – Зависимость фазовой и групповой скорости волны от частоты в волноводе с воздушным и диэлектрическим заполнением..
1 – сапфир, 2 – воздух
6. Исследование проникновения поля в стенки волновода. Зависимости толщины скин-слоя от частоты для двух заданных материалов покрытия стенок волновода.
Толщина скин-слоя 
является функцией частоты:
Построим график зависимости скин-слоя от частоты для двух заданных покрытий
|
|
|
Рисунок 12 – Зависимость толщины скин слоя от частоты для двух
материалов покрытия стенок волновода.
1 – серебро (Ag), 2 – медь (Cu)
Определим зависимость амплитуды сигнала от глубины проникновения в металл покрытия при фиксированной частоте по следующей аппроксимационной формуле:
|
Рисунок 13 – Зависимость амплитуды волны от толщины проникновения
для двух материалов покрытия стенок волновода.
1 – серебро (Ag), 2 – медь (Cu)
Вывод
В ходе работы были рассчитаны размеры волноведущей структуры в виде круглого волновода. Радиус сечения получился около 6 мм. Данные габариты вполне подходят для практической реализации.
Из зависимости на рис. 8 можно сделать вывод, что при внедрении внутрь волновода диэлектрика его волновое сопротивление уменьшается. При этом из рис. 11 можно заметить, что частота отсечки волновода с диэлектриком ниже, чем минимальная частота пустой волноведущей структуры.
Зависимость на рис. 10 показывает, что в волноводе с диэлектрическим наполнением длина волны в волноводе достигает тех же размеров, что и длина волны при воздушном наполнении волновода на более низких частотах. Соответственно, на одной частоте, дина волны в заполненном волноводе будет больше.
Так же было проведено исследование глубины проникновения сигнала в металлическое покрытие волновода. Так называемая толщина скин-слоя от частоты. Заданные материалы примерно совпадали по удельной проводимости поэтому зависимости на рис. 12 примерно совпадают. С увеличением частоты глубина проникновения убывает. Из зависимости амплитуды сигнала от глубины проникновения (рис. 13), можно понять, что в материалах с большей удельной проводимостью волна затухает быстрее.
Список литературы
Распространение электромагнитных волн в направляющих системах: методические указания к курсовой работе по дисциплине «Электродинамика» / сост.: С. П. Зубко, А. Г. Алтынников, А. Г. Гагарин, Н. Ю. Медведева, А. В. Дроздовский. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2014. 20 с.
Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. М.: Сов. радио, 1971.
Никольский В. Д., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964.
Григорьев А.Д. Электродинамика и микроволновая техника. СПб: Лань, 2007.
Вендик О. Г., Самойлова Т. Б. Электродинамика. СПб: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006.