Потопахин Виталий Валерьевич
Теория игр
Теория игр это один из разделов современной математики, в котором изучаются проблемы, связанные с принятием решений в условиях нехватки информации.
Свое название этот раздел получил потому что именно в большинстве игр с несколькими участниками, нам приходится принимать решение (делать ход), не зная точно, как поступит противник.
В этой статье мы рассмотрим следующую проблему: как принимать решение, если кто-то или что-то вам противодействует. Вот несколько примеров подобной ситуации:
Игра в шахматы или шашки. Участвуют два игрока, каждый из которых стремится нанести урон своему противнику.
Принятие производственного плана предприятия. Здесь также есть выбор и также есть противодействие, со стороны конкурентов и со стороны потребителей продукции, которые могут купить продукцию, а могут и не купить.
Принятие решения о дате и способе восхождения на горную вершину. Здесь противодействующая сторона погода, которая может помочь, а может и помешать.
В приведённых выше примерах есть общее и есть различия. Общего здесь то, что приняв то или иное решение, мы ожидаем определённый выигрыш и какой-то ущерб. Выигрыш нам нужен максимально большой, а ущерб минимально возможный. И всегда остается риск ошибки.
Различие в этих примерах заключается в разной степени осведомленности. В шахматах каждый игрок обладает всей полнотой информации. Вся информация о позиции доступна каждому из них, и ни один из игроков не знает о расположении фигур больше другого. И если кто-то выиграет, а кто-то проиграет, то только потому, что умение играть у них различное. Но, повторимся, информацией они обладают одинаковой. Такие игры называются играми с полной информацией.
Таких игр достаточно много. Но есть и другие игры в которых часть информации скрыта, как например в карточных играх, в которых противники не видят карт друг друга. Или, есть игры в которых какие-то параметры хода определяются бросанием кубика (например нарды), то есть появляется элемент случайности. Элемент случайности есть и в карточных играх. Здесь он определяется случайной раздачей карт. Такие игры называются по разному. Например, есть красивый термин «стохастические игры». Мы в дальнейшем также будем пользоваться этим термином.
Стохастические игры характеризуются наличием случайности и необходимостью принятия решения в отсутствие информации о игровой ситуации и возможных действиях противника.
Необходимо заметить, что игры с полной информацией можно рассматривать, как стохастические если учесть, что принимающий решение, реально редко в состоянии действительно полно проанализировать ситуацию. А проанализировать игровую ситуацию от начала игры до самого конца, в принципе возможно только в самых примитивных играх, например крестики – нолики на доске 3х3.
Но это если анализ ведёт человек. Если же анализ игры ведёт компьютер, чьи счетные возможности существенно выше, то для него игры с полной информацией и стохастические отличаются очень существенно.
В чем состоит задача игрока
Просто говоря, задача игрока выиграть. Но не всегда это можно сформулировать так однозначно. Например, нельзя стремиться покорить горную вершину ценой гибели альпинистов, например нельзя стремиться выиграть сражение ценой гибели значительной части армии и т.д.
То есть очень и очень часто понятие победы в игре звучит существенно сложнее. Приведем несколько возможных целей:
1. Добиться ситуации которая означает выигрыш. В шахматах это мат королю противника.
2. Получить максимально возможную выгоду, например максимальную прибыль в торговой операции.
3. Обеспечить себе минимально возможный ущерб, минимальные затраты физической энергии при переноске грузов.
Для реализации поставленной окончательной цели игрок ставит себе цели промежуточные, которые позволят ему достигнуть целей окончательных. Это, например, провести шашку в дамки, срубить ферзя противника и т.д. В целом цели игрока можно разделить на две большие группы: стратегические цели, ставящиеся на длительное время (большое количество ходов или других игровых действий), тактические цели которые игрок стремится реализовать за небольшое количество ходов.
Отсюда ясно, что теория игр должна дать нам методы помогающие разрабатывать стратегии поведения игрока и тактические приёмы, помогающие в реализации данных стратегий. Игры с полной информацией и стохастические игры отличаются очень сильно, поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать их по отдельности.