1.11. Сколько имеется четных четырехзначных чисел, в десятичной записи которых все числа различны?
1.12. Сколько имеется четырехзначных чисел, в десятичной записи которых встречается цифра 5?
1.13. Сколько различных каруселей можно сделать, расположив по окружности фигурки десяти зверей (карусели считаются одинаковыми, если фигурки идут друг за другом в одинаковом порядке)?
1.14. а)Сколько разных шестибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «физика»?
б)Сколько разных восьмибуквенных слов можно получить, переставляя буквы в слове «черчение»?
1.15. Сколькими способами можно разложить по 8 занумерованным коробкам трех синих и пяти красных шаров так, чтобы в каждой коробке оказалось ровно по одному шару?
1.16. Доказать, что число упорядоченных разбиений 
-элементного множества на 
подмножеств, первое из которых содержит 
элемент, второе - 
элемента, …, -е - 
элементов, равно 
.
1.17. а) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых цифры расположены в порядке убывания?
б) Сколько имеется пятизначных чисел, в десятичной записи которых каждая следующая цифра меньше либо равна предыдущей?
1.18. В студенческой группе учатся 9 девушек и 11 юношей. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 человек для участия в соревнованиях, если в нее должно войти не менее 3 юношей?
1.19. а) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно составить график дежурств по классу на 6 дней так, чтобы каждый день дежурили по 3 человека, причем никто не дежурил дважды?
б) В классе учатся 18 человек. Сколькими способами можно разбить его учеников на 6 групп?
1.20. а) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по 3 занумерованным коробкам так, чтобы ни одна из коробок не осталась пустой?
б) Сколькими способами можно разложить 8 одинаковых шаров по 3 занумерованным коробкам?
1.21. а) Сколькими способами можно представить число в виде упорядоченной суммы положительных целых чисел?
б) Сколькими способами можно представить число в виде упорядоченной суммы неотрицательных целых чисел?
1.22. Вывести формулу 
для числа сочетаний с повторениями из элементов по .
1.23. а) Сколько существует рефлексивных бинарных соотношений на множестве из элементов?
б) Сколько существует симметричных бинарных соотношений на множестве из элементов?
в) Сколько существует антисимметричных бинарных соотношений на множестве из элементов?
1.24. Используя бином Ньютона, доказать тождества:
а) 
;
б) 
;
в) 
( - четно);
г) 
( - четно);
д) 
( - нечетно);
е) 
( - нечетно).
1.25. Найти такое число , при котором число сочетаний из элементов по наибольшее, при условии, что:
а) - четное число; б) - нечетное число.
Ответы и указания к упражнениям
1.4. 200.Решение.Чтобы обмен осуществился, Олег должен выбрать одну из своих книг, а Иван - одну из своих. Пара выбранных ими книг определяет обмен, поэтому обмен можно отождествить с выборкой объема 2, первый элемент которой - книга Олега, второй - книга Ивана. Число способов обмена равно количеству таких выборок. Произвольную выборку можно составить в два шага: на первом выбрать одну из десяти книг Олега, на втором - одну из двадцати книг Ивана. Следовательно, по правилу произведения количество выборок, а значит и число способов обмена равно 
. 1.5. 
. Решение. Будем писать число справа налево, т.е. на первом шаге выбирать последнюю цифру числа, на втором - предпоследнюю, и т.д. Тогда на первом шаге у нас будет выбор из 4 возможностей, на втором, третьем и четвертом шагах независимо от ранее сделанного выбора - выбор из 8 возможностей. Следовательно, согласно правилу произведения, количество чисел, удовлетворяющих условию, равно 
. 1.6. а) 12; б) 16. 1.7. 
. 1.8. 
(
- число всех пятизначных чисел, 
- число пятизначных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 5). 1.9. а) 
; б) 
. Решение. а) Каждому размещению шаров по коробкам сопоставим упорядоченную выборку, элементы которой - номера коробок: первый элемент выборки - номер коробки, в которую помещен первый шар, второй элемент - номер коробки, в которую помещен второй шар, и т.д. В этих упорядоченных выборках элементы не повторяются (так как по условию задачи в каждую коробку можно положить не более одного шара), следовательно, мы имеем дело с размещениями из 9 элементов по 5. Число таких размещений найдем по формуле 
. б) Каждому размещению шаров по коробкам сопоставим упорядоченную выборку, элементами которой являются номера коробок: первый элемент выборки - номер коробки, в которую помещен первый шар, второй элемент - номер коробки, в которую помещен второй шар, и т.д. В этих выборках элементы могут повторяться (так как по условию задачи в каждую коробку можно положить сразу несколько шаров), следовательно, мы имеем дело с размещениями с повторениями из 9 элементов по 5. Число таких размещений найдем по формуле 
. 1.10. Каждое шестибуквенное слово - перестановка из 6 элементов, следовательно, разных шестибуквенных слов столько, сколько перестановок из 6 элементов, т.е. 
. 1.11. а) 
б) 
. 1.12. а) 
; б) 
. 1.13. а) 
; б) 
; в) 
; г) 
. 1.14. 42375200. Решение. Выбор председателя, секретаря и трех членов счетной комиссии можно осуществить за три шага. На первом выбрать председателя, на втором - секретаря, на третьем - членов счетной комиссии. На первом шаге имеем 50 возможностей, на втором - 49, на третьем - возможностей столько же, сколько неупорядоченных выборок без повторений трех человек из 48, т.е. 
. Следовательно, по правилу произведения выбор председателя, секретаря и трех членов счетной комиссии можно осуществить 
способами.