МАТЕМАТИКА
в формулах и таблицах
Справочное пособие
Новосибирск
2000 г.
В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов.
Математика в формулах и таблицах. Справочное пособие
Справочное пособие содержит формулы, таблицы, графики по математике, охватывающие основные разделы элементарной математики - алгебры и геометрии. Оно предназначено для абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам, а также для студентов дневного и заочного обучения при изучении высшей математики и других дисциплин.
Кафедра высшей математики
Рецензент: И.И.Резван
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.
Ó Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2000 г.
Ó В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов, 2000 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ…………………………………
2. ФОРМУЛЫСОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ …………
3. СТЕПЕНИ И КОРНИ ……………………………………….
4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ………
5. ПРОГРЕССИИ ………………………………………………
6. ЛОГАРИФМЫ………………………………………………
7. ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………
8. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ……………
9. ПЛАНИМЕТРИЯ …………………………………………
10. СТЕРЕОМЕТРИЯ …………………………………………
ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………
ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ
n Î N - множество натуральных чисел {1, 2, 3, …}
d = НОД (n, m) - наибольший общий делитель n и m
k = НОК (n, m) - наименьшее общее кратное n и m
Z = множество целых чисел
Q = - множество рациональных чисел (дробей)
R – множество действительных чисел
Арифметические операции с дробями:
; ; ;
; ; ;
Пропорция ;
Модуль числа. Определение: ;
Свойства модуля:
; ; ;
|
|
|
;
|
|
|
ФОРМУЛЫСОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
; ;
;
;
;
; ;
СТЕПЕНИ И КОРНИ
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ;
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
;
Корни уравнения: , где - дискриминант.
Формулы Виета: ; .
Разложение квадратного трехчлена на множители:
.
Приведенное уравнение: ; .
Квадратное неравенство:
Если D >0, a >0, - корни квадратного трехчлена, , то
Þ ;
Þ .
ПРОГРЕССИИ
Арифметическая прогрессия:
Общий член: , , где - разность прогрессии;
Сумма членов .
Геометрическая прогрессия
Общий член: , где - знаменатель прогрессии;
Сумма членов .
Сумма геометрической прогрессии (при ): .
Некоторые суммы:
; ;
;
; ;
ЛОГАРИФМЫ
Логарифм числа по основанию :
.
Основное логарифмическое тождество: .
Свойства логарифмов:
; ;
; ; .
Десятичные логарифмы : .
Натуральные логарифмы : .
Логарифмические неравенства:
.
Показательные неравенства:
.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Основные соотношения
;
; ;
; ; ;
; ;
7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно:
; ;
Основные значения тригонометрических функций
Знаки тригонометрических функций
Формулы сложения
; ;
; ;
; ;
; ;
Формулы двойных углов
;
;
; ;
Формулы тройных углов
; ;
; ;
Формулы половинных углов
; ;
; ;
;
Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для решения тригонометрических уравнений:
; ; ; ;
Формулы приведения
sin | – sin j | cos j | ± sin j | – cos j | ± sin j |
cos | cos j | ± sin j | – cos j | ± sin j | cos j |
tg | –tg j | ± ctg j | ± tg j | ± ctg j | ± tg j |
ctg | –ctg j | ± tg j | ± ctg j | ± tg j | ± ctg j |
Формулы преобразования суммы и разности
; ;
; ;
, где ;
; ;
; .
Формулы преобразования произведения
; ;
.
Обратные тригонометрические функции
;
;
;
.
Простейшие тригонометрические уравнения
1) ; ; .
Частные случаи: ; ;
; ;
; .
2) ; ; .
Частные случаи: ; ;
; ;
; .
3) , ; .
4) ; ; .
RefM499.doc
8. Графики основных элементарных функций
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
|
ПЛАНИМЕТРИЯ
10.1. Треугольник
10.1.1. Основные соотношения
A,B,C – вершины aa,b,c – стороны a,b,g - углы
- неравенства треугольника; ;
теорема проекций
теорема синусов
теорема косинусов
10.1.2. Замечательные линии и точки в теугольнике
ma, mb, mc - медианы
ha, hb, hc - высоты
la, lb, lc - биссектрисы
p - полупериметр,
r - радиус вписанной окружности
R – радиус описанной окружности
; ;
; ;
10.1.3. Формулы площади треугольника
(формула Герона)
Разбиение треугольника медианами
|
Свойство биссектрисы треугольника
10.1.4. Прямоугольный треугольник
|
;
|
или
(CD - высота, опущенная на гипотенузу)
Подобия в прямоугольном треугольнике
10.1.5. Правильный треугольник
p=3a (p - периметр)
Четырехугольники
10.2.1. Квадрат
S = a 2
10.2.2. Прямоугольник
p=2(a+b) (p - периметр)
S=ab
10.2.3. Параллелограмм
p=2(a+b) (p - периметр)
|
|
10.2.4. Ромб
10.2.6. Трапеция
Свойства трапеции
1. Во всякой трапеции середины
оснований К, М лежат на прямой,
проходящей через точку пересечения
диагоналей О и точку пересечения
продолжений боковых сторон.
|
2. Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме.
|
Окружность и круг.
Длина окружности
длина дуги окружности
(n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).
Площадь круга
площадь кольца
.
Площадь сектора
; (a - величина дуги в градусах)
Свойства окружности
1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,
перпендикулярны: r ^ l
2) отрезки касательных, проведенные к окружности
из точки, лежащей вне ее, равны, т.е.
AB = AC
3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.
(AB) ^ (CD) Û CK = KD
4) квадрат длины касательной равен произведению длины
секущей на ее внешнюю часть:
AB 2 =
5) центры касающихся окружностей О1, О2 и точка их касания М лежат на одной прямой.
|
только тогда, когда суммы длин противоположных
сторон равны, т.е.:
AB + BC = AB + CD
7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна
1800, т.е.:
Следствия из свойства 7):
- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;
- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;
8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на
которую он опирается:
ÐО = Èa
9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального
угла, опирающегося на эту же дугу
Ð AOC = 2Ð ABC
10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину
Ð ABD = Ð ACD
СТЕРЕОМЕТРИЯ
11.1. Куб
Объем
V = a 3
Площадь поверхности
S = 6a2
11.2. Параллелепипед
Объем
(S - площадь основания, h - высота)