Письменное умножение.
Используемые математические законы и правила.
1. Правило умножения суммы на число: (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d – при умножении суммы на число можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных слагаемых: 125·3=(100+20+5) ·3=100·3+20·3+5·3=100+60+15=375.
Переводя данный способ умножения в запись столбиком, получаем письменный прием (алгоритм) умножения на однозначное число.
2. Правило умножения числа на сумму: a·(b+c+d)=a·b+a·c+a·d – при умножении числа на сумму можно умножить число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Это правило является основой приема умножения многозначного числа на многозначное. Первый множитель – это число, умножаемое на сумму. В качестве суммы в этом случае рассматривается второй множитель, представляемый в виде суммы разрядных слагаемых:
123·212=123·(200+10+2)=123·200+123·10+123·2= 24600+1230+246=26076.
Переводя данный способ умножения в запись столбиком, получаем письменный прием (алгоритм) умножения многозначного числа на многозначное число.
3. Правило умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения): a·(b·c)=(a·b) ·c=(a·c) ·b. Например: 35·20=35·(2·10)=(35·2) ·10=70·10=700;
2540·400=2540·(4·100)=(2540·4) ·100=10160·100=1016000.
Письменное умножение на однозначное число.
Алгоритм – самостоятельно по учебнику математики для 3 класса.
Для прочного усвоения письменных приемов умножения ребенок должен:
-запомнить правильную запись: разряд записывается под соответствующим разрядом.
-запомнить правильный порядок выполнения действий: умножение начинаем с младших разрядов (справа налево)
-овладеть технологией запоминания и добавления излишних единиц, получаемых при умножении однозначных чисел, в следующий по старшинству разряд
-знать до автоматизма таблицу умножения
-уметь быстро складывать однозначные и двузначные числа в уме.
Для облегчения (на первых уроках) усвоения письменного приема умножения можно:
-производить подробную, а не сокращенную запись приема (особенно для детей, плохо считающих в уме) – написать в тетрадях!
-производить запись промежуточных вычислений рядом с примером или на черновике – в этом случае все необходимые для запоминания и добавочного прибавления разрядные единицы будут зафиксированы, и ребенок не будет их терять.
125·3 (слева – запись в столбик). Справа: 5ед. ·3=15ед. 15ед.= 1дес. +5ед.
2дес. ·3=6дес. 6дес.+1дес.= 7дес.
1сот. ·3=3сот.
Письменное умножение на двузначное (многозначное) число.
Примеры:329·24, 382·729
Технически, несмотря на экономичный способ записи, выполнение многозначного числа на двузначное или трехзначное число – процесс сложный и трудоемкий, требующий не только знания способов записи и порядка выполнения действий при письменных вычислениях, но и прочного знания таблицы умножения (до автоматизма), а также умения производить сложение двузначных и однозначных чисел в уме.
Особые случаи.
В качестве особых случаев рассматривают случаи умножения чисел с нулями: 35·20, 532·300, 2540·400. При записи таких примеров в столбик происходит нарушение общего правила записи чисел при письменном умножении. Умножение происходит по принципу умножения многозначного числа на однозначное, а результат домножается в уме на количество десятков и сотен в множителя. Технически это выглядит как дописывание к результату справа такого же количества нулей, как в обоих множителях.
Сложные случаи письменного умножения.
К сложным случаям письменного умножения относят все случаи вычислений, в которых происходит либо нарушение способа записи (для краткости вычислений), либо нарушение порядка алгоритма.
973·50, 7050·7, 340·24, 421·305.
Для того, чтобы ребенок понял смысл всех многочисленных действий «по умолчанию», при знакомстве с этими трудными случаями следует сначала производить полные записи и выполнять все предписанные алгоритмом действия, а не просто указывать ребенку, что куда следует сдвигать. Затем, сравнивая два вида записи (полный и сокращенный), нужно помочь ребенку понять, какие элементы и этапы полного алгоритма и полной записи можно опустить, и что при этом произойдет с формой записи. Это способствует пониманию вычислительного приема и формированию осознанной вычислительной деятельности школьника.
Письменное деление.
Используемые математические законы и правила.
1. Правило деления суммы на число: (a+b+c):d=a:d+b:d+c:d – при делении суммы на число можно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. В качестве суммы рассматривается трехзначное (многозначное) число, представляемое в виде суммы разрядных или удобных слагаемых.
369:3=(300+60+9):3=300:3+60:3+9:3=100+20+3=123
365:5=(350+15):5=350:5+15:5=70+3=73
Переводя данный способ деления в запись столбиком, получаем письменный прием (алгоритм) деления на однозначное число.
2. Правило деления числа на произведение: a:(b·c)=(a:b):c – при делении числа на произведение можно разделить это число сначала на один множитель, а затем полученный результат разделить на второй множитель.
5400:600= 5400:(6·100)=(5400:100):6=54:6=9
3. Деление с остатком.