Комбинированные задачи B12
5 января 2012
Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.
Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами (см. урок «Работа с формулами в задаче B12»). В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.
Задача
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где m 0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m 0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?
Решение
По условию, известны следующие величины: m 0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m (t) = 56 · 2− t /7. Требуется найти момент, когда m (t) = 7 мг. Составим и решим уравнение:
56 · 2− t /7 = 7;
2− t /7 = 1/8 — разделили все на 56;
2− t /7 = 2−3 — представили 1/8 как 2−3;
− t /7 = −3;
t = 21.
Ответ
Задача
Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5 p. Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.
Решение
Итак, у нас есть функция r = q · p, причем q — неизвестная величина. Более того,переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5 p. Подставим это выражение в функцию r. Получим:
r = (75 − 5 p) · p = 75 p − 5 p 2.
Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение:
270 = 75 p − 5 p 2;
5 p 2 − 75 p + 270 = 0 — перенесли все влево;
p 2 − 15 p + 54 = 0 — разделили все на 5;
... (решаем квадратное уравнение)
p 1 = 6; p 2 = 9.
Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p 2 = 9.
Ответ
Задача
При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l (t) = l 0 · (1 + a · t),где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение
Изначально нам известны две величины: l 0 = 20 и a = 1,2 · 10−5. Самый тонкий момент — понять, чему равно l (t). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.
Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм =9 · 10−3 м. Итого, l (t) = 20 + 9 · 10−3. Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение:
20 + 9 · 10−3 = 20 · (1 + 1,2 · 10−5 · t).
Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым:
20 + 9 · 10−3 = 20 + 20 · 1,2 · 10−5 · t;
9 · 10−3 = 24 · 10−5 · t — убрали с обеих сторон число 20.
Умножим обе стороны на 105 и получим:
9 · 10−3 + 5 = 24 · 10−5 + 5 · t;
9 · 102 = 24 t — обычное линейное уравнение;
t = 900/24 = 37,5.
Ответ
37,5
Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина l (t) — это сумма исходной длины l 0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.
Общие выводы из приведенных решений:
1. Иногда в задачах о радиоактивных изотопах указывают название вещества — не обращайте внимания на это. Хоть медь-64, хоть ксенон-133 — что угодно. Эти числа не участвуют в решении, а только засоряют текст задачи. Возможно, составители задач делают это намеренно;
2. В задачах о предприятиях-монополистах не стоит пугаться единиц измерений. Даже если это сотни тысяч рублей, не надо приписывать нули к указанным в задаче числам. Используйте то, что дано — и получите правильный ответ;
3. Когда речь идет о рельсах, важно понимать, что l (t) — это длина всего рельса, а не только его удлинение. Само удлинение (или зазор) надо перевести в метры. Например, 4,5 мм — это 4,5 · 10−3 м. Кроме того, не спешите складывать длину рельса и зазор. Лучше раскройте скобки — формула сложная, но объем вычислений сократится многократно. И не надо вычислять 10−5, а то получится одна стотысячная и будет очень грустно.
Сложные задачи B12
Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.
Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.
Задача
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 1020 м2, а излучаемая еюмощность P не менее 1,14 · 1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
Решение
Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известнамощность P, площадь S и постоянная σ. Подставим их в формулу — получим:
1,14 · 1025 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4.
Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:
1,14 · 1025 · 128 = 5,7 · 10−8 · (1/128) · 1020 · T 4 · 128;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 10−8 · 1020 · T 4 — сократили множители, отмеченные красным;
1,14 · 128 · 1025 = 5,7 · 1012 · T 4;
1,14 · 128 · 1025 − 12 = 5,7 · 1012 − 12 · T 4 — разделили все на 1012;
1,14 · 128 · 1013 = 5,7 · T 4;
1,14 · 128 · 1013: 5,7 = 5,7 · T 4: 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 1013 = T 4 — потому что 1,14: 5,7 = 0,2;
2 · 10−1 · 128 · 1013 = T 4 — записали 0,2 = 2 · 10−1;
256 · 1012 = T 4 — группируем двойки и десятки;
T 4 = 1012 · 28 — поскольку 256 = 28;
T = 103 · 22 = 1000 · 4 = 4000.
На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.
Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T 1 = 4000 и T 2 = −4000.Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.
Ответ
Задача
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:
где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 м —начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2).
Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?
Решение
Для начала выясним, чему равно искомое H (t). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H (t) = (1/4) · 20 = 5 м.
Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:
Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:
5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50)2 · t 2;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50)2 · t 2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50)2 · t 2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 — разделили все на 5.
Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x. Тогда (1/50)2 · t 2 = x 2, и все уравнение перепишется следующим образом:
x 2 − 4 x + 3 = 0;
(x − 3) · (x − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта (см. урок «Теорема Виета»);
x 1 = 3; x 2 = 1.
Теперь вспоминаем, что такое x. Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t, имеем:
t = 50 x;
t 1 = 50 · 3 = 150;
t 2 = 50 · 1 = 50.
Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна:
H (100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50)2 · 1002 = 20 − 40 + 20 = 0.
Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака,и уравнение H (t) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50.
Ответ
В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:
1. С точки зрения математики, перед нами стандартная квадратичная функция, график которой — парабола. И вполне нормально, что квадратное уравнение имеет два корня;
2. Но с точки зрения физики, после отметки t = 100 графика вообще не существует. Потому что через 100 секунд вода полностью вытекает из бака, и функция H (t)перестает описывать рассматриваемый процесс. Все, что расположено дальше этой отметки — бред, который нас не интересует.
В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные усл овия задач. Будьте внимательны!
Типичные задачи B12 с функциями
6 января 2012
Сегодня мы рассмотрим типичные задачи B12, которые сводятся к работе с функциями. Речь пойдет о функциях в «чистом» виде — без дополнительных параметров и аргументов. Подобных задач не так много, поэтому урок будет коротким, но содержательным.
Говоря простым языком, функции — это когда одна переменная зависит от другой. В задаче B12 функции всегда задаются формулами и обозначаются разными буквами: f (x), h (t), m (t)...
Как решать такие задачи? Многие учителя рекомендуют сводить функцию к уравнениям и неравенствам, а затем решать их. Можно и так, но есть способ проще. Итак, всего три шага:
1. Найти в тексте задачи, чему должна быть равна функция. Пусть это будет число K.
2. Решить уравнение f (x) = K. Ну, или h (t) = K — в зависимости от того, как называется функция.
3. Если корень один — это и есть ответ. Если корней два и более — надо немного подумать. Например, время не может быть отрицательным, масса — нулевой, и так далее.
Функции в задаче B12 всегда очень простые, поэтому чаще всего проблемы возникают на третьем шаге. Но это лечится обыкновенной тренировкой.
Задача
Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h (t) = 2 + 12 t − 5 t 2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 6 метров?
Решение
Из условия следует, что надо решить уравнение h (t) = 6. Получаем обычное квадратное уравнение:
2 + 12 t − 5 t 2 = 6;
5 t 2 − 12 t + 4 = 0 — собрали все с одной стороны;
... (решаем обычное квадратное уравнение)
t 1 = 0,4; t 2 = 2.
Итак, у нас два корня. Что это значит? В момент времени t 1 = 0,4 камень был на высоте 6 метров, затем — очевидно, больше 6, и, наконец, в момент t 2 = 2 снова 6 метров. Короче говоря, в период с t 1 = 0,4 до t 2 = 2 камень находился на высоте более 6 метров. Найдем длину отрезка:
l = t 2 − t 1 = 2 − 0,4 = 1,6.
Ответ
1,6
Задача
Камень брошен вниз с высоты 24 метра. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле h (t) = 24 − 7 t − 5 t 2, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет падать?
Решение
Что значит, что камень упал? Это означает, что его высота над поверхностью земли стала равна нулю. Итак, надо решить уравнение h (t) = 0. Имеем:
24 − 7 t − 5 t 2 = 0 — обычное квадратное уравнение;
... (решаем квадратное уравнение)
t 1 = 1,6; t 2 = −3;
Очевидно, корень t 1 = −3 нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Поэтому камень будет падать 1,6 секунды.
Ответ
1,6
Почему-то в последней задаче многие (на самом деле, почти все) хотят решить уравнение h (t) = 24. Аргументация такая: мол, число 24 встречается в тексте, да еще и в самом начале. Так вот: это число не имеет никакого отношения к решению. Вообще. А требуемое значение функции надо искать в вопросе.
В самом деле, сколько секунд камень будет падать? Ну, до тех пор, пока не упадет. А что значит, что камень упал? Это значит, что его высота над землей равна нулю. Вот такие неслабые размышления.
Когда искомое значение функции определено, решить задачу не составит труда. В заключение рассмотрим еще 2 типовые задачи, которые любят давать на пробных экзаменах, и которые вполне могут встретиться на настоящем ЕГЭ.
Задача
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:
H (t) = 5 − 1,6 t + 0,128 t 2
где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?
Решение
Эта задача очень похожа на предыдущую — про камень, брошенный с высоты 24 метра. Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба не станет равной нулю. Поэтому H (t) = 0. Подставляем это значение в функцию и решаем уравнение:
0 = 5 − 1,6 t + 0,128 t 2;
0 = 625 − 200 t + 16 t 2 — умножили все на 125;
16 t 2 − 200 t + 625 = 0 — стандартное квадратное уравнение;
Поскольку коэффициенты получились неслабые, причем a = 16 ≠ 0, работаем через дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений»). Имеем:
D = b 2 − 4 ac = (−200)2 − 4 · 16 · 625 = 40 000 − 40 000 = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень.
t = − b: (2 a) = −(−200): (2 · 16) = 200: 32 = 6,25.
Таким образом, вода перестанет вытекать из бака через 6,25 минуты — это и есть ответ.
Ответ
6,25
Задача
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = −5 t 2, где t измеряется в секундах, а h — в метрах.
До дождя время падения камушков составляло 1,4 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.
Решение
Это немного нестандартная задача с функцией. По условию, аргумент t может принимать 2 значения:
t 1 = 1,4 — исходное, дано в условии задачи;
t 2 = 1,4 − 0,1 = 1,3 — новое значение.
Теперь подставим эти значения в функцию h (t). Так мы найдем расстояние от верхней кромки колодца до поверхности воды до и после дождя. Имеем:
h (t 1) = −5 · (1,4)2 =... = −9,8;
h (t 2) = −5 · (1,3)2 =... = −8,45.
Итак, есть два значения: −9,8 метра и −8,45 метра. Если вычесть из большей высоты меньшую, получим искомую минимальную высоту Δ h, на которую должен подняться уровень воды:
Δ h = −8,45 − (−9,8) = 9,8 − 8,45 = 1,35 — это и есть ответ.
Ответ
1,35
Небольшое пояснение к последней задаче. Откуда взялось число t 2 = 1,3? По условию, уровень воды повышается, а значит, расстояние от воды до верхней кромки колодца становится меньше. Следовательно, уменьшается и время полета камня.
Именно поэтому мы уменьшаем исходное время (t 2 = 1,4 − 0,1 = 1,3), а ни в коем случае не увеличиваем его. Понять это — вот основная трудность подобных задач.
Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
9 января 2012
Перед вами 12 задач, которые предлагались на пробных ЕГЭ по математике, а также в различных сборниках. Это настоящие задачи B12 — первые из них относительно легкие, но в конце будут довольно трудные экземпляры.
Постарайтесь решать задачи именно в том порядке, в котором они даны. Этот порядок выбран не случайно: здесь чередуются формулы, функции и комбинированные задачи (см. урок «Комбинированные задачи B12»). Одновременно чередуются и методы их решения: от простых линейных и квадратных уравнений до иррациональных уравнений и высших степеней.
Никто не знает, какая задача попадется в настоящем ЕГЭ по математике. Поэтому надо уметь решать их все. Если что-то не получается, не расстраивайтесь — попробуйте «Сводный тест по задачам B12 — 2 вариант».
Начало формы
· B1
Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 160 − 10 p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) задается формулой r (p) = q · p.
Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r (p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
o
· B2
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением:
T (t) = T 0 + bt + at 2
где T 0 = 1350 К, a = −15 К/мин, b = 180 К/мин2.
Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
o
· B3
Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:
где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах.
В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 20 А. Определите, какое минимальное сопротивление (в Омах) должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать.
o
· B4
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле:
h = −5 t 2
где t измеряется в секундах, а h — в метрах.
До дождя время падения камушков составляло 0,8 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 секунды? Ответ выразите в метрах.
o
· B5
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где m 0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада.
В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m 0 = 200 мг изотопа меди, период полураспада которого T = 2 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 12,5 мг?
o
· B6
Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону:
h (t) = 1 + 11 t − 5 t 2
где t измеряется в секундах, а h — в метрах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более трех метров?
o
· B7
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:
где T 1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T 2 — температура холодильника (в градусах Кельвина).
При какой минимальной температуре нагревателя T 1 КПД этого двигателя будет не менее 75%, если температура холодильника T 2 = 280 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.
o
· B8
Расстояние от наблюдателя, выраженное в километрах, находящегося на высоте h метров над землей, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле:
где R = 6400 км — радиус Земли.
Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 6,4 километра. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек надо подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 11,2 километра?
o
· B9
В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:
H (t) = at 2 + bt + H 0
где H 0 = 2 м — начальный уровень воды, a = 1/50 м/мин2 и b = −2/5 м/мин —постоянные. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
o
· B10
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/81) · 1012 м2, а излучаемая еюмощность P не менее 46,17 · 1021 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
o
· B11
Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 200 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле:
π (q) = q (p − v) − f.
Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не менее 300 000 руб.
o
· B12
При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 15 метров. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:
l (t °) = l 0 · (1 + a · t °)
где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t ° — температура (в градусах Цельсия).
При какой температуре рельс удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)
10 января 2012
Аналог теста, опубликованного вчера (см. «Сводный тест по задачам B12»). Однако не думайте, что задачи здесь отличаются лишь числами. Напротив, вариант составлен практически «с нуля»: изменились многие условия, изменилась последовательность, появились новые задачи.
Рекомендации остались прежними: решайте задачи в том порядке, в котором они приведены. Типы задач и методы их решения чередуются, что делает подобную тренировку еще более эффективной. Удачи!
Начало формы
· B1
Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:
При каком наименьшем значении температуры нагревателя T 1 КПД этого двигателя будет не менее 60%, если температура холодильника T 2 = 400?
o
· B2
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:
где m 0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада.
В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m 0 = 60 мг изотопа золота, период полураспада которого T = 15 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не менее 15 мг?
o
· B3
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/256) · 1013 м2, а излучаемая ею мощность P не менее 9,12 · 1022 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
o
· B4
При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 10 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 3 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону:
l (t) = l 0 · (1 + a · t)
где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.
o
· B5
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:
где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 5 м —начальная высота столба воды, k = 1/800 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с2 — ускорение свободного падения.
К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды? Ответ выразите в секундах.
o
· B6
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением:
T (t) = T 0 + bt + at 2
где T 0 = 1400 К, a = −50 К/мин, b = 400 К/мин2.
Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.
o
· B7
Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой:
y = ax 2 + bx
где a = −1/100 м−1, b = 1 — постоянные параметры, x — расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, y — высота камня над землей.
На каком наименьшем расстоянии от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.
o
· B8
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 25 Ом.
При этом известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями Rx и Ry их общее сопротивление дается формулой:
o
· B9
После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле:
h = −5 t 2
где t измеряется в секундах, а h — в метрах.
До дождя время падения камушков составляло 0,6 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.
o
· B10
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна:
где ε — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R —сопротивление цепи (в Омах).
При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I кз = ε / r? Ответ выразите в Омах.
o
· B11
Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле:
π (q) = q (p − v) − f.
Компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц.
Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не менее 500 000 руб. в месяц.
o
· B12
Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч2, вычисляется по формуле:
Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразитев км/ч2.
Не пишите единицы измерения в задаче B12
21 января 2012
Решая задачи B12, многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Вместо того чтобы просто подставить коэффициенты в уравнение и найти ответ, они начинают смотреть на единицы измерения — градусы, метры, проценты и т.д.
Нелишним будет напомнить, что B12 — задача с практическим содержанием, и единицы измерения здесь будут всегда. Никакой смысловой нагрузки они не несут, поэтому запомните следующее правило:
Единицы измерения в задаче B12 писать не надо. Если они присутствуют в формуле изначально — удалите их. Все уравнения должны содержать только числа — никаких метров, градусов и рублей.
Так вы сэкономите время и убережете себя от многих ошибок. Заодно получите более «чистое» и наглядное уравнение, которое легче решается.
Задача
Осадная машина метает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня описывается формулой:
y = ax 2 + bx
где a = −1/50 м−1, b = 1 — постоянные параметры, x — расстояние от машины до камня по горизонтали, y — высота камня над землей.
На каком наименьшем расстоянии от крепостной стены высотой 12 метров надо расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.
Решение
Здесь все просто: коэффициенты выражены в метрах, других единиц измерения нет. Поэтому спокойно зачеркиваем подозрительное «м−1» и составляем уравнение.
Правильно
13 = (−1/50) · x 2 + x;
Неправильно
13 м = (−1/50 м−1) · x 2 + x.
Задача
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора вычисляется по формуле:
T (t) = T 0 + bt + at 2
где T 0 = 1400 К, a = −20 К/мин, b = 150 К/мин2.
Известно, что при температуре более 2000 К прибор может испортиться, и его надо отключить. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы надо отключить прибор.
Решение
По условию, температура измеряется в градусах Кельвина, время — в минутах. Других единиц измерения в задаче нет, дополнительных преобразований не требуется, поэтому подставляем числа в уравнение.
Правильно
2000 = 1400 + 150 t − 20 t 2;
Неправильно
2000 К = 1400 К + 150 t − 20 t 2.
Задача
При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 12 метров. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:
l (t °) = l 0 · (1 + a · t °)
где a = 1,2 · 10−5 (°C)−1 — коэффициент теплового расширения, t ° — температура (в градусах Цельсия).
При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Решение
В задаче присутствуют сразу три единицы измерения: метры, миллиметры и градусы Цельсия. Переведем миллиметры в метры: 6 мм = 6 · 10−3 мм. Это сделано для того, чтобы все длины были в единой системе измерения — метрах.
Кроме того, единицы измерения присутствуют в самой формуле. Непонятно, зачем составители задач пишут l (t °) и at ° вместо привычных всем l (t) и a · t. Так что зачеркиваем градусы и подставляем «голые» числа в уравнение:
Правильно
12 + 6 · 10−3 = 12 · (1 + 1,2 · 10−5 · t);
Неправильно
12 м + 6 мм = 12 м · (1 + 1,2 · 10−5 · t °);
6 мм = 12 м · (1 + 1,2 · 10−5 · t °).
Задача
Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя вычисляется по формуле:
где T 1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T 2 — температура холодильника (в градусах Кельвина).
Определите наименьшую температуру нагревателя T 1, при которой КПД составит не менее 75%, если температура холодильника T 2 = 300 К. Ответ выразите в градусах Кельвина.
Решение
Итак, в задаче есть две единицы измерения: градусы Кельвина и проценты. Да-да,проценты — тоже единица измерения, и в итоговом уравнении их быть не должно.
Правильно
Неправильно
Задача
Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:
P = σST 4
где σ = 5,7 · 10−8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.
Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = 4 · 1010 м2, а излучаемая еюмощность P не менее 22,8 · 1021 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.
Решение
Градусы Кельвина, квадратные метры и ватты — стандартные единицы измерения, которые спокойно можно отбросить.
Правильно
22,8 · 1021 = 5,7 · 10−8 · 4 · 1010 T 4;
Неправильно
22,8 · 1021 Вт = 5,7 · 10−8 · 4 · 1010 м2 · T 4.
Думаю, смысл понятен. Множество ошибок допуска