, где
r – расстояние от центра волны до т.М.
Для гармонической сферической волны
и 
,
где A (r) – амплитуда волны; φо – начальная фаза колебаний вцентре волны.
Реальные источники волн можно считать точечными (источниками сферических волн), если расстояние r от источника колебаний до рассматриваемых точек среды значительно больше размера источника.
Если r очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей можно считать плоскими.
В однородной, изотропной, непоглощающей среде волны плоские и сферические описываются дифференциальным уравнением в частных производных, которое называют волновым уравнением.
, где
– оператор Лапласа или Лапласиан.
Энергия волны
Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией.
Выбрав малый объём среды dV можно записать для плотности энергии
, где
– скорость колеблющихся частиц в среде;
– фазовая скорость волны;
– плотность среды;
– относительная деформация.
Для продольной плоской волны 
и 
, т.е.
.
Для плоскойгармонической волны
.
Для сферической гармонической волны
.
Среднее за период значение плотности энергии
.
Скорость переноса энергии равна фазовой скорости υ.
Потоком энергии 
через малую площадку 
называют отношение 
.
Так как 
, то
, где
– вектор плотности потока энергии или вектор Умова.
т.е. поток энергии через произвольную поверхность S, мысленно проведённую в среде, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверхность.
Скалярную величину I, равная модулю среднего значения вектора Умова, называют интенсивностью волны:
Принцип суперпозиции волн: результирующее возмущение в какой либо точке линейной среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующей каждой из этих волн в отдельности.
.
Интерференция волн
Две волны называют когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Гармонические упругие волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.
Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками S1 и S2, с циклическими частотами ω 1 = ω 2 = ω и начальными фазами φ 1и φ 2..
По принципу суперпозиции
.
А и Ф определяем по методу векторных диаграмм
.
– геометрическая разность хода волн от С1 и С2 до точки М.
Амплитуда результирующих колебаний максимальна 
если 
или
. Если 
то 
.
Амплитуда результирующих колебаний минимальна 
если 
т.е. 
или
. Если то 
.
Число т называют порядком интерференционного максимума.
Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны, которые образуются в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн ещё и одинаковую поляризацию.
Тогда
.
Амплитуда стоячей волны 
является периодической функцией от координаты х.
Точки, в которых А СТ = 0 называют узлами стоячей волны, а точки, где А СТ = 2 А называют пучностями стоячей волны.
Положение узлов и пучностей находится из условий
– узлы;
– пучности (т = 0; 1; 2; …).
Длиной стоячей волны называют расстояние между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями
.
В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), т.к. аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты х.
В стоячей волне скорость колебательного движения частиц среды
,
а относительная деформация среды
Таким образом, в отличие от бегущей волны, в стоячей волне 
опережает υ 0 по фазе на π/ 2, так что в те моменты времени, когда υ 0 достигает амплитудного значения, обращается в нуль, и наоборот.
В пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформации среды.
Если l – длина струны, стержня или столба газа, υ – фазовая скорость волны, а λ – её длина, то для струн или стержней, закреплённых на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое число длин стоячей волны λСТ = λ /2.
Отсюда вытекает условие
– собственные частоты колебаний таких систем (гармоники).
– основной тон;
– первый обертон.
Для стержней, один конец которых закреплён, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого,
.
Лекции 8 и 9