Говорят, что множество Х симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество Х таково, что (-х) Х для любого х Х, т.е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).
Примеры симметричных относительно нуля множеств:
отрезок [-5;5];
интервал [-3;3];
числовая прямая (- );
Примеры несимметричных множеств:
отрезок [-5;4];
интервал (-2;3);
луч [-10;+ );
Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.
Определение:
Функция у = f(x) называется четной, если:
1) область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;
2) для любого х D(f) выполняется равенство
f(-x) = f(x)
Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-х четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.
Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-х является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-х не является нечетной.
Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции
у=1+sin x; у = 2 ; у = .
Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:
а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;
б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;
в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:
f(-x) = f(x) (1)
или f(-x) = f(x) (2) для всех х D(f)
Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.
Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:
_
+
+
_
+
Пример: исследовать на четность и нечетность функции:
1) у = 8 ; 2) у = ; 3) у = ; 4) у = .
Областью определения функции у = 8 является числовая прямая (- ; + ) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8 ;
f(-x) = 8 = 8 . Таким образом, f(-x) = f(x), т.е. функция является чётной.
2) Областью определения функции y = является промежуток (0; + ) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = не является ни чётной, ни нечётной.
3) Область определения функции у = находится из условия или (x – 1)(x + 1) , таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем
f(x) = ; f(-x) = = , т.е. функция у = является чётной.
4) Функция у = не определена при тех значениях x, при которых знаменатель = 0, т.е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (- ; -3) (-3; 3) (3; + ) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = ; f(x) = = - .
Так как f(-x) f(x) и f(-x) -f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.
Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.
Свойство 1. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.
Доказательство.
Пусть Функции y = (x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций
(x) и (x) соответственно:
(x) = f(x) + (x); = f(x) - (x).
Так как по определению f(-x) = -f(x) и (-x) = - (x), то
(-x) = f(-x) + (-x) = -f(x) - (x) = - (f(x) + (x)) = - (x)
(-x) = f(-x) - (-x) = -f(x) + (x) = - (f(x) - (x)) = - (x).
Полученные равенства означают, что (x) и (x) – нечётные функции.
Свойство 2. Если y = f(x) и y = (x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.
Доказательство
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций Ф (x) и Ф (x) соответственно:
Ф (x) = f(x) (x); Ф (x) = ( (x) 0).
Учитывая, что функции f(x) и (x) – нечётные, будем иметь:
Ф (-x) = f(-x) (-x) = (-f(x)) (- (x)) = f(x) (x) = Ф (x);
Ф (-x) = = = = Ф (x).
Полученные равенства доказывают, что Ф (x) и Ф (x) функции чётные.
Свойство 3. Если y = f(x) и y = (x) – чётные функции, то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций G (x),
разность функций G (x), произведение функций G (x), частное данных функций G (x) соответственно:
G (x) = f(x) + (x); G (x) = f(x) - (x); G (x) = f(x) (x);
G (x) = ( 0).
Докажем, что G (x), G (x), G (x), G (x) – чётные функции.
Доказательство
Учитывая, что f(x) и (x) – чётные функции будем иметь:
G (-x) = f(-x) + (-x) = f(x) + (x) = G (x);
G (-x) = f(-x) - (-x) = f(x) - (x) = G (x);
G (-x) = f(-x) (-x) = f(x) (x) = G (x);
G (-x) = = = G (x).
Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.
Пусть функции y = f(x) и y = (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению
F (-x) = f(x), (-x) = - (x).
Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) (x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.
Доказательство
Учитывая, что f(x) – функция чётная, а (x) – функция нечётная, будем иметь:
Q(-x) = f(-x) (-x) = f(x) (- (x)) = -f(x) (x) = -Q(x).
Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.
Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.
Доказательство
Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.
Покажем, что существуют функции y = (x) и y = (x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что
y = (x) + (x) = f(x), где y = (x) – чётная функция, а y = (x) – нечётная функции.
Положим (x) = ; (x) = .
Тогда ясно, что (x) и (x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и
(-x) = = = (x);
(-x) = = = - = - (x);
(x) + (x) = + = = =
= f(x),
что и требовалось доказать.
Пример. Функцию y = 2 можно представить в виде суммы двух функций y = (x), где (x) = , и y = (x), где (x) = , причём функция y = (x) – чётная, а функция y = (x) – нечётная.
Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т.е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.
Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число 0 такое, что выполняются следующие два условия:
1) для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + ) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + ) = f(x).
Число Т называют периодом функции y = f(x).
Замечание. Для периодической функции имеет место равенство
f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и
f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).
Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где n , n 0 является периодом этой функции.
Действительно, пусть n = 1, тогда согласно определению и замечанию:
а) точки (x + ) и (x – T) принадлежат области определения функции y = f(x);
б) f(x) = f(x + ) и f(x) = f(x – T).
Предположим, что для n = k справедливо утверждение точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1.
По предположению точки (x + kT) и (x – kT) принадлежат области определения функции y = f(x) и Т есть её период. Следовательно, точки
[(x + kT) + T] и [(x – kT) – T], т.е. точки [x + (k + 1)T] и [x - (k + 1)T], принадлежат её области определения.
Итак, для любого x из области определения функции y = f(x) при любом n Z, n 0 точки (x + n ) и (x – nT) принадлежат области её определения.
Предположим, что для любого n = k справедливо утверждение
f(x) = f(x + kT) и f(x) = f(x – kT). Докажем справедливость этого утверждения при n = k + 1. Действительно, так как Т является периодом функции y = f(x), то для точки (x + kT) имеем [(x + kT) + T] = f(x + kT), но по предположению
f(x) = f(x + kT) следовательно, f(x) = f[x + (k + 1)T].
Аналогично для точки (x – kT) доказывается, что f(x) = f[x - (k + 1)T], т.е. для любого целого отличного от нуля n утверждение f(x) = f(x + nT) и
f(x) = f(x - nT) доказано.
Число Т называется главным периодом, если оно положительно и является наименьшим среди всех положительных периодов, т.е. из положительных периодов функции y = f(x) (если он существует) называют её основным (главным периодом).
Рассмотрим примеры.
Пример №1. Функция y ={x} ({x} – дробная часть числа х) – периодическая. Заметим, что по определению = х – [х], где [x] – целая часть числа х. Область определения данной функции - вся числовая прямая, поэтому для любого действительного числа х и любого T x, Т 0 числа (х + Т) и (х - Т) принадлежат области определения рассматриваемой функции и f(x +T) = {x+T} = x + T – [x + T] = x + T –([x] + T) = x + T – [x] – T = x – [x] = {x}, где Т Z, T 0.
Таким образом, функция у = {x} – периодическая с периодом Т, где Т Z, T 0.
Наименьшее целое положительное число равно единице. Следовательно, основной период данной функции Т = 1.
Построим график функции у = {x}.
Для этого сначала построим график функции на промежутке х [0;1), длина которого равна основному периоду функции. Если х [0;1), то {x} = x, то есть на этом промежутке имеем у = х.
Весь график функции у = {x} получим параллельным переносом графика функции у = {x}, где х [0;1) вдоль оси абсцисс на = 1.
Пример № 2
Функция Дирихле – периодическая с периодом T = r, где r = Q.Действительно,
D(x) =
D(x + r) =
Так как r – рациональное число, то сумма х + r - рациональное число, как сумма двух рациональных чисел; с другой стороны, х + r - иррациональное число, как сума иррационального и рационального чисел.
Следовательно, D(x + r) = D(x).
Пример № 3
Функция y = sin не является периодической, так как, например для числа
х = 0 число (х – Т) при Т > 0 или число (х + Т) при Т < 0 не принадлежат области определения данной функции.
Пример № 4
Найти период функции
y = A sin (mx + ), где А, m, - постоянные величины, A 0, m 0,
x – аргумент.
Область определения функции – числовая прямая, поэтому числа (х Т) R, где Т 0. Пусть основной период данной функции равен Т. Тогда для данной функции при любых действительных х рассмотрим равенство
A sin (m (x + T) + ) = A sin (mx + ).
Следовательно,
A (sin (m (x + T) + ) – sin (mx + ) = 0.
Применяя формулу разности синусов, будем иметь:
2А sin cos = 0
2А sin cos = 0
2А sin cos = 0
2А sin cos = 0
Это произведение должно равняться нулю независимо от значений х.
Так как х - переменная величина, то 2cos 0, А 0 по условию, тогда sin = 0, откуда следует
= , или , где n Z.
Из множества значений Т наименьшее положительное значение получим при наименьшем положительном значении n = 1, значит период данной функции
.
Заметим, что период функции у = А sin (mx + ) не зависит от A и .
Аналогично можно найти основные периоды и остальных тригонометрических функций.
Таким образом, функции
y = sin x и y = cos x имеют основной период Т = 2
у = tg x и у = ctg x имеют основной период Т = ,
а функции у = sin (mx + ) и у = cos(mx + ) имеют основной период Т = .
Функции у = tg (mx + ) и у = ctg (mx + ) имеют основной период Т = .
Отметим некоторые свойства периодических функций. Заметим, что сумма разность, произведение и частное двух периодических функций может быть функцией как периодической, так и не периодической.
Теорема 1. Если периодические функции y = f1 (x) и y = f2 (x), x Î X, имеют один и тот же период T, то их сумма, разность, произведение тоже будут периодическими функциями и число Т будет их периодом.
Доказательство Так как функция y = f1 (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого x Î X выполняется равенство
f1 (x +Т) = f1 (x) (1)
Так как функция y = f2 (x) – периодическая с периодом Т ¹ 0, то для любого x Î X выполняется равенство
f2 (x +Т) = f2 (x) (2)
Рассмотрим функцию z (x) = f1 (x) ± f2 (x), заданную на множестве X. Тогда для любого x Î X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь
z (x +T) = f1 (x +T) ± f2 (x +Т) = f1 (x) ± f2 (x) = Z (x).
Последнее равенство доказывает периодичность функции z (x) представляющей собой сумму или разность двух периодических функций с одним и тем же периодом Т.
Рассмотрим функцию t (x) = f1 (x)×f2 (x), заданную на множестве Х. Тогда для любого x Î X согласно равенствам (1) и (2) будем иметь
t (x +T) = f1 (x +T) ×f2 (x +Т) = f1 (x) ×f2 (x) = t (x).
Данное равенство доказывает периодичность функции t(x) представляющей собой произведение двух периодических функций с одним и тем же периодом Т, причем число Т является периодом как функции t(x), так и функции z(x).
Замечание. Если число Т было наименьшим положительным периодом (т.е. основным периодом) двух заданных функций, то после их сложения или умножения Т может перестать быть наименьшим из положительных периодов.
Пример 5. Функция f1 (x) = 3 sin x + 2 имеет основной период 2p, функция f2 (x) = 2 – 3 sin x имеет основной период 2p, а их сумма
z (x) = f1 (x) +f2 (x) = 3 sin x + 2 + 2 – 3 sin x = 4
наименьшего положительного периода не имеет, так как при любом действительном значении a ¹ 0 z(x+a) = z(x), т.е. любое действительное число является периодом функции z(x), а наименьшего положительного среди действительных чисел нет.
Пример 6. Функция j1(x) = sin x +1 и j2(x) = 1- sin x имеют наименьший положительный период 2p, а для произведения
t(x) = j1(x) × j2(x) = (sin x +1)(1- sin x) = 1- sin2x = cos2x =
наименьшим положительным периодом есть число p.
Определение Периоды функций Т1 и Т2 называются соизмеримыми, если существуют такие целые отличные от нуля числа m и n, что m×T1 = n×Т2.
Пример 7. Выясним, являются ли соизмеримыми периоды Т1 = и
Т2=
Решение. Данные периоды будут соизмеримыми, если уравнение ×m = ×n имеет решение на множестве Z \ {0}. Умножим обе части данного уравнения на 6 (наименьшее общее кратное чисел 3 и 2), получим равносильное уравнение 4m = 15n, откуда m = 15k, n = 4k, где k Î Z \ {0}. Например, при k = 1 получим
× 15 = ×4 = 10
Ответ: Периоды Т1 и Т2 соизмеримы.
Теорема 2. Если периодические функции y = f1(x) и y = f2(x), x Î X, имеют соизмеримые периоды Т1 и Т2 то они имеют общий период.
Доказательство. Так как периоды Т2 и Т2 соизмеримы, то существуют целые отличные от нуля числа m и n такие, что m ×T1 = n × T2 = T ¹ 0. Следовательно, Т – общий период функций y = f1(x) и y = f2 (x). Теорема доказана.
Замечание. По теореме 1 число Т будет также периодом функций
z (x)= f1(x) ± f2 (x), t(x) = f1(x) f2 (x).
Пример 8. Найти период функции
f(x) = sin2x + 3sin(3x-2) - cos( x +1).
Решение. Так как период синуса равен 2p, функция sin2x имеет период = p функция sin(3x-2) = sin(3x-2 + 2p) = 3sin3(x- + ) и ее период равен . Аналогично, функция - cos( x +1) имеет период = p.
Для того, чтобы найти общий период функции, представим периоды
Т1 = p; Т2 = p и Т3 = p в другом виде, а именно, коэффициенты при p в полученных периодах приведем к общему знаменателю, получим
Т1 = p = 6× ; Т2 = p = 4× и Т3 = p = ×p и найдем наименьшее общее кратное числителей этих коэффициентов 6, 4 и 15. Оно равно 60. Следовательно, число Т = 60× = 10p – основной период данной функции.
Пример 9. Найти период функции y = cos5x-sin2x.
Решение. Функция y = cos5x имеет период T1 = ; функция y = sin2x – период Т2 = = p. Представим периоды Т1 и Т2 в другом виде: Т1 = 2× ; Т2 = 5× . Таким образом видно, что периоды Т1 и Т2 соизмеримы: 5Т1 = 2Т2, откуда 5× = 2×p = 2p. Следовательно, число 2p является периодом данной функции.
Пример 10. Найти основной период функции y = sin2x.
Решение. Понизим степень функции y = sin2x. Тогда y = =
- cos2x. Период этой функции равен периоду cos2x = p. Таким образом основной период данной функции равен p.
Замечание. Если Т1 и Т2 – основные периоды функций f1(x) и f2(x), то наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее условиям:
Т = mT1 = nT2, где m, n Î Z \ {0}, не обязательно является основным периодом функций f1(x) ± f2(x) и f1(x) × f2(x).
Например, основные периоды функций y = cos2x + sinx и y = -sinx равны 2p, а основной период их суммы y = cos2x равен p.
Или, вернемся к примеру 6 и посмотрим на функцию y = sin2x как на произведение функций y = sinx ×sinx. Основной период функции y = sinx есть число 2p, но решая пример 6, мы показали, что основной период функции
y = sin2x равен p.
Заметим, что сложная функция, промежуточным аргументом которой служит периодическая функция, есть функция периодическая, причем периоды этих функций совпадают. Докажем
Теорему 3. Если y = f(j(x)) – сложная функция, где j(x) – периодическая функция с периодом Т, то и сложная функция периодическая с периодом Т.
Доказательство. Так как j(x) – периодическая функция с периодом Т, то для любого действительного x из области определения функции j(x) имеем
j(x + Т) = j(x),
тогда для функции y = f(j(x)) при любом действительном х из области определения функции j(x) будем иметь
j(x + Т) = f (j(x)) = f(j(x)) = y(x).
Последнее равенство доказывает, что функция y = f(j(x)) периодическая с периодом Т.
Пример 11. Функция y = cos3x периодическая с периодом = p. В силу теоремы 3 функция y = 5cos22x + +3 периодическая с периодом p.
Рассмотрим примеры на доказательство периодичности или не периодичности функций.
Пример 12. Доказать, что функция y = sin не является периодической.
Доказательство. I способ: D(y) = [0;+¥). Пусть положительное число
Т – период данной функции, тогда должно выполнятся условие (х-Т) Î D(y), для любого x Î D(y). Но при x = 0 (х-Т) Ï D(y), следовательно, T > 0 не является периодом функции.
Докажем, что Т < 0 не может быть периодом функции y = sin .
Если T < 0 – период данной функции, то должно выполнятся условие (х + Т) Î D(y) для любого x Î D(y). Но при x = 0 (х + Т) Ï D(y), следовательно, T < 0 не является периодом функции.
II способ: Предположим, что функция y = sin имеет период, равный Т. Тогда y = sin = y = sin при любом действительном x Î D(y). При x = 0 будем иметь, что sin = sin 0 = 0. Значит
= pn, (1)
а при x = T получим sin = sin = 0. Следовательно,
sin = pk. (2)
Разделив почленно (2) на (1) при n ¹ 0, получим = = , чего не может быть, так как число иррациональное.
Пример 13. Доказать, что функция y = cos2 x не является периодической.
Доказательство. Пусть данная функция имеет период Т ¹ 0. Тогда для любого x Î D(y) (D(y) = R) должно выполнятся равенство
cos (x+T)2 = cos x2 или
cos (x+T)2 - cos x2 = 0
Преобразуем данное равенство по формуле разности косинусов, получим
2 sin × sin
2sin (x2 + T×x + ) × sin (T×x + ) = o
Это произведение должно равняться нулю независимо от значений переменной величины x, а это невозможно, sin (T×x + ) ¹ o и
sin (x2 + T×x + ) ¹ 0. Значит допущение, что функция y = cos2 x периодическая неверно, т.е. данная функция не является периодической.
Пример 14. Доказать, что функция y = |sin (x)| является периодической с периодом p.
Доказательство. D(y) = R. Пусть периодом данной функции будет число Т ¹ 0. Тогда
|sin (x + Т)| = |sin (x)| (3)
Это равенство будет выполнятся в двух случаях:
1) sin (x + Т) = sin (x) и тогда