Дифференциальные уравнения.
Тема урока: Дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Цели урока:
- помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;
- помочь овладеть методами решения ДУ;
- отработать навыки решения дифференциальных уравнений первого
порядка.
План урока:
1. Объяснение нового материала.
2. Закрепление изученного материала.
3. Информация о домашнем задании.
Ход урока
1. Объяснение нового материала:
Мотивация: Решить уравнение: у'=2х.
Что содержит данное уравнение?
у'=2х.- дифференциальное уравнение (ДУ).
Дифференциальные уравнения (ДУ) обычно кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении многим студентам, но на самом деле ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ – ЭТО ПРОСТО И ДАЖЕ УВЛЕКАТЕЛЬНО.
Теоретическая часть:
Определение 1:
Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
Определение 2:
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок, входящих в него производных.
Примеры:
ху'+у=0- дифференциальное уравнение первого прядка.
- дифференциальное уравнение 2-го порядка.
у'''-2у=х- дифференциальное уравнение третьего порядка.
Определение 3:
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций
y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению.
Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Определение 4:
Дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независимой переменной х, искомой функцией у и еѐ производной.
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:
1) независимую переменную ;
2) зависимую переменную (функцию);
3) первую производную функции: .
В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.
Определение 6
Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не содержащее произвольных постоянных.
Определение 7: Частным решением ДУ называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.
Определение 8: Задача, в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х0)=у0, называется задачей Коши.
(Огюстен Луи Коши(1789-1857)- французский математик).
Пример 1. у'=2х. С чего начать решение?
,
На втором шагесмотрим, нельзя ли разделить переменные?
Разделим переменные
,
- общее решение
2) При х= 2, у=5, тогда
5= , 5= 4+с, получим
с= 1, следовательно,
- частное решение.
Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.
Определение 9: Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями с разделенными переменными
Определение 9-1: Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:
Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид:
Определение 10: Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то уравнение неоднородное
Для решения этого уравнения необходимо:
1. Переписать производную
2.разделить переменные;
проинтегрировать обе части полученного равенства.
Пример2: Решить дифференциальное уравнение
Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.
Определение 11
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Давайте попытаемся получить общее решение.
Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.
Используем свойство логарифмов
- представлена в явном виде
Пример 3:
1)
Общее решение.
2) ,
,
,
,
-общее решение
Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.
Получим: -4+1=С2/(-3), тогда С2=9.
Частное решение имеет вид: .
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим обе части уравнение на и получим
.
Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.
Пусть , .
Тогда , .
Находим общее решение уравнения:
2.Закрепление:
Решить примеры.
у'=4х3.Найти общее решение.(ответ: у=х4+С)
1. (ответ: )
Найти частные решения ДУ:
3. , при х= , у=3(ответ: y=tgx+2)
4. , при х=0, у=1 (ответ: )
5. , ,
общее решение.
6. Найти частное решение ДУ .
общее решение.
тогда у=2sinx-1- частное решение.
Дополнительно:
1. , при х=π, у=0. Ответ:
2. Ответ: у=х2+4
3. ,х=2,у=-4. ответ: