П. 18.1. Геометрический смысл двойного интеграла.

Двойной интеграл.

П. 18.1. Понятие двойного интеграла.

Задача. Найти объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y) (f (x, y) > 0), снизу конечной замкнутой областью S плоскости Оху с образующей параллельной оси Оz.

Для вычисления объема V данного тела, разобьем основание его S на конечное число элементарных ячеек: ∆ S ₁, ∆ S ₂, …, ∆ S_n. В каждой из этих ячеек выберем точку М_i (x_i, y_i, z_i) ∈ ∆ S_i и построим прямой цилиндрический столбик с основанием ∆ S_i и высотой M_iN_i = f (x_i, y_i), равной аппликате поверхности в выборочной точке

V_i = f (x_i, y_i)∙∆ S_i,

где ∆ S_i – площадь соответствующей ячейки.

Рис. 20.

Сумма объемов всех цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметр ячеек ∆ S_i. Поэтому объем цилиндроида приближенно выразится суммой

.

Данная формула дает возможность найти объем V с любой степенью точности, если число ячеек ∆ S_i достаточно велико и линейные размеры их весьма малы.

Обозначим через di диаметр ячейки ∆ S_i, т. е. наибольший линейный размер ее (диаметр прямоугольника равен его диагонали, эллипса – его большой оси).

Пусть d равен d = max di – наибольший из диаметров ∆ S ₀, ∆ S ₁, ∆ S ₂, …, ∆ S_n.

.

Выражение, стоящее в левой части данной формулы называется двойным интегралом от функции f (x, y), распространенным на области S и обозначается следующим образом

Следовательно,

Определение 1. Двумерной интегральной суммой от данной функции f (x, y), распространенной на данную область S, называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек ∆ S_i области S на значения f (x_i, y_i) функции f (x, y) в выделенных точках этих ячеек, т. е.

Определение 2. Двумерным интегралом от функции f (x, y), распространенным на данную область S, называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа п элементарных ячеек ∆ S_i и стремлении к нулю их наибольшего диаметра d при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области S на элементарные ячейки ∆ S_i и выбора точек в них, т. е.

где f (x, y) – подынтегральная функция,

S – область интегрирования,

dS – элемент площади.

п. 18.1. Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f (x, y) ³ 0, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области S как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y).

Замечание. Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Очень часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу.

В этом случае ∆ S_i – прямоугольники со сторонами ∆ x_i, ∆ y_j:

∆ S_i = ∆ x_i ∙∆ y_j.

Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, элемент площади записывают в виде

dS = dx ∙ dy,

т. е. элемент площади в декартовых координатах является произведением дифференциалов независимых переменных.

Рис. 21.

Таким образом

.