ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

 

ЛЕКЦИЯ 5.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

1. Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара- Лапласа.

2. Расчет индукции магнитного поля токов правильной формы.

3. Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

 

 

Характеристики магнитного поля. Закон Био-Савара- Лапласа.

В 1820 году Эрстед обнаружил, что магнитная стрелка, расположенная вблизи проводника с током, отклоняется от своего первоначального направления. Причём, угол и направление отклонения зависят от направления и величины силы тока в проводнике.

Позже Ампер экспериментально установил, что на элемент проводника с током в магнитном поле действует сила равная

 

- закон Ампера,

где - характеристика магнитного поля, называемая индукцией.

На элемент проводника с током I в магнитном поле действует сила прямо пропорциональная силе тока в проводнике и индукции магнитного поля.

Магнитное поле – вид материи, неразрывно связанный с движущимся зарядом, посредством которого передается взаимодействие между токами. Силовые линии магнитного поля являются замкнутыми, и вектор магнитной индукции всегда направлен по касательной к ней. Направление вектора связано с направлением тока, создавшим это поле, правилом правого винта.

 

Рис.1

Для определения физического смысла вектора индукции магнитного поля введем понятие «пробный контур с током». Такой контур представляет собой круговой виток, площадь, которого мала и равна единице площади, и сила тока также равна единице.

Основной характеристикой такого контура является магнитный момент , который равен: ,

 

где I –сила тока в контуре; S – его площадь; - единичный вектор нормали к поверхности контура.

За положительное выбрано направление нормали, связанное с направлением силы тока правилом правого винта.

Поместим такой контур в магнитное поле. В любой точке этого поля контур будет разворачиваться так, чтобы его магнитный момент был направлен параллельно вектору магнитной индукции . Т.е., на контур будет действовать вращательный момент .

Рис.2

Вектором индукции магнитного поля называют векторную физическую величину, которая показывает какой максимальный вращательный момент, действует на пробный единичный контур с током, помещенный в данную точку поля.

(тесла)

Жан Батист Био и Феликс Савар, изучая топографию полей, созданных токами различной формы, установили, что магнитная индукция во всех случаях пропорциональна силе тока в проводнике и зависит от расстояния между током и точкой, в которой определяется индукция магнитного поля.

Лаплас обобщил их экспериментальные результаты и вывел математический закон, определяющий величину магнитной индукции, создаваемой элементарным участком проводника с током. Рис.3

 

- Закон Био-Савара- Лапласа,

или скалярной форме: ,

 

где - магнитная постоянная, равная Гн/м,

- угол между векторами и .

 

 

Расчет индукции магнитного поля токов правильной формы.

Используем закон Био-Савара-Лапласа для расчета индукции магнитного поля, создаваемых проводниками с током правильной формы.

А) Поле прямого тока.

Пусть поле создано прямым проводником, по которому течет ток I. В точке А любой элемент проводника создает магнитное поле, вектор магнитной индукции которого лежит в плоскости перпендикулярной чертежу и направлен от нас за чертеж.

Рис.4

 

Это дает нам право заменить векторное сложение скалярным, т.е.

.

По закону Био-Савара-Лапласа: .

Из чертежа следует, что ;

Из треугольника, образованного векторами и , можно получить, что

Подставив и в закон Био-Савара-Лапласа, получим:

.

Проинтегрировав от до , получим:

Если проводник бесконечен, то , а .

Б) Поле кругового тока.

Определим чему равен вектор магнитной индукции поля, созданного круговым током, в точке, лежащей на оси кольца.

Рис. 5

 

Очевидно, что , создаваемый любым элементом , лежит в плоскости, проходящей через и и перпендикулярен ей. Всё семейство векторов образует конический веер. Каждый вектор можно разложить на две составляющие: -проекция вектора на направление перпендикулярное оси кольца; - проекция на ось кольца. Очевидно, что =0, так как каждому элементу найдётся другой элемент, создающий поле вектор магнитной индукции которого будет направлен в противоположную сторону.

В результате, индукция магнитного поля в точке А будет определяться только .

Из Рис.5 следует, что где , так как 90

После интегрирования получим:

Если , то

 

В) Поле движущегося заряда

Как известно, ток это направленное движение заряженных частиц. Любой ток создаёт магнитное поле. Следовательно, каждый движущейся заряд должен создавать своё магнитное поле.

Найдём, чему равна индукция магнитного поля, созданного одним движущимся зарядом. Для этого сделаем следующие преобразования в законе Био-Савара-Лапласа:

 

,

 

где j – плотность тока, S – площадь поперечного сечения проводника с током, - вектор, соединяющий движущийся электрон с точкой наблюдения.

Такие замены возможны, поскольку и вектор параллелен вектору . ,

 

где е – заряд электрона, n – концентрация носителей заряда (электронов), -скорость направленного движения электронов в проводнике.

 

Общее число электронов в элементе проводника , которые создают магнитное поле равно , поэтому

,

тогда, индукция магнитного поля, созданного одним электроном равна: .

В случае, если любая частица с зарядом движется со скоростью , то будет равна:

Теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля.

а) Теорема о циркуляции

Назовем циркуляцией вектора магнитной индукции по замкнутому контуру выражения вида:

 

,

 

где - проекция вектора на направление , проекция вектора на направление .

Рассмотрим контур, охватывающий прямой проводник с током I.

Рис.6

Ток направлен от нас за чертёж . Вычислим для этого контура циркуляцию . В каждой точке контура направлен по

гаправлен по касательной В каждой точке контура касательной к вписанной окружности, центр которой совпадает с проводником с током. Выделим на контуре элемент dl. В данном случае: где R- радиус вписанной окружности, - угол на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль отрезка dl.

 

Учитывая, что поле создаёт прямой бесконечный проводник,

то .

Тогда .

 

При обходе контура угол меняется от 0 до 2

 

 

Пусть теперь выбранный нами контур не охватывает проводник с током.

Рис 7

Теперь при обходе контура радиальная прямая сначала будет поворачиваться в одном направлении от точки 1 до точки 2, а затем в обратном направлении от точки 2 до точки 1.

В результате

Можно показать, что полученные соотношения справедливы для проводников различной формы.

Если же контур будет охватывать несколько токов, то

Циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых данным контуром, умноженной на магнитную постоянную .

Знак токов определяется по правилу правого винта.

 

Доказанная теорема позволяет утверждать, что магнитное поле не является потенциальным, силы в нем действующие не консервативны. Силовые линии такого поля замкнуты и его называют вихревым.

б) Индукция магнитного поля бесконечного соленоида.

Бесконечным будем называть соленоид, у которого длина намного превышает диаметр.

Пусть по соленоиду течет ток силой I. В любой точке бесконечного соленоида и вне его будем считать, что вектор индукции параллелен его оси.

Рис 8

Выделим контур 1-2-3-4 таким образом, чтобы участок 1-2 лежал на оси соленоида,

Участки 2-3 и 4-1 были бесконечно длинными и располагались перпендикулярно его оси. Тогда участок 3-4 будет находиться в бесконечности.

Циркуляцию вектора по контуру 1-2-3-4 представим в виде суммы 4-х слагаемых: .

 

2-ой и 4-ый интегралы будут равны нулю, т.к. и взаимно перпендикулярны и, следовательно, проекция вектора индукции на направление будет равна нулю.

Третий интеграл тоже можно считать равным нулю, поскольку этот участок лежит в бесконечности, где поля нет.

На основании теоремы о циркуляции вектора получим, что

=

 

где I- сила тока в соленоиде, = - число витков на

участке 1-2, n – число витков на единице длины и - длина участка 1-2.

Вектор и на участке 1-2 совпадают по направлению, поэтому .

Окончательно получим:

 

 

Рис.9

Можно показать, что если соленоид имеет конечную длину Рис.9, то индукция магнитного поля на его оси равна:

 

,

 

ЛЕКЦИЯ 6.

 

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ТОКИ И ЗАРЯДЫ.

 

1. Движение электрического заряда в магнитном поле. Эффект Холла.

2. Рамка с током в магнитном поле.

3. Магнитный поток. Механическая работа в магнитном поле.

 

Движение электрического заряда в магнитном поле. Эффект Холла.

а) Сила Лоренца.

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера

,

где длина элемента проводника в магнитном поле,

индукция магнитного поля,

I – сила тока в проводнике.

 

По определению сила тока равна .

За время через поперечное сечение проводника приходит n частиц .

Тогда на одну частицу будет действовать сила равная:

.

В случае движения любой частицы с зарядом q в магнитном поле на неё будет действовать сила: - сила Лоренца.

В скалярной форме ,

где - угол между векторами и .

 

Направление силы Лоренца , скорости движения частицы и индукции магнитного поля связаны между собой правилом левой руки.

Рис 10

 

б) Эффект Холла.

Если проводник с током жестко закреплён в магнитном поле, то он не сможет перемещаться в пространстве под действием силы Ампера. Однако каждый электрон будет испытывать действие силы Лоренца.

Пусть в магнитном поле находится жёстко закрепленный проводник прямоугольной формы толщиной (пластина), по которому течёт ток I. Магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости чертежа будет создавать силу, прижимающую электроны к нижней грани пластины.

Рис11

В результате у верхней грани пластины возникает некомпенсированный положительный заряд. Это приведёт к возникновению между верхней и нижней

гранями разности потенциалов.

Этот эффект был открыт в 1879 году Холлом, который установил, что возникающая разность потенциалов зависит от плотности тока в пластине j, индукции внешнего магнитного поля B, ширины проводника : .

R- коэффициент пропорциональности, зависящий от природы проводника и называемый константой Холла.

Открытый Холлом эффект используется в приборах для измерения индукции магнитного поля и позволяет определить концентрацию и подвижность носителей тока в проводнике.

 

Рамка с током в магнитном поле.

1. Рамка с током в однородном магнитном поле.

а) Прямоугольная рамка

Поместим прямоугольную рамку с током I в однородное магнитное поле с индукцией B, так чтобы его силовые линии были параллельны площади рамки.

Рис.12.

 

По закону Ампера на каждый элемент рамки должна будет действовать сила, равная: .

Для всех элементов, находящихся на сторонах и , эта сила равна нулю, так как угол между и равен нулю или .

На стороны и действует результирующая сила , так как угол между и равен либо , либо .

Следовательно, на сторону действует сила, направленная от нас за чертёж, а на сторону - от чертежа к нам.

Эта пара сил будет создавать вращательный момент

равный: ,

где кратчайшее расстояние между линиями действия сил и .

Тогда

Учитывая, что магнитный момент рамки направлен по нормали к поверхности рамки, т.е. в начальный момент , можно записать:

 

б) рамка произвольной формы.

Пусть теперь в однородном магнитном поле находится контур произвольно расположенный относительно силовых линий поля.

Рис.13.

На каждый элемент будет действовать сила . Поскольку направлен относительно поверхности контура под некоторым углом , разложим его на составляющие, одна из которых параллельна плоскости контура, другая перпендикулярна ей. Составляющая создаст силу, стремящуюся сжать или растянуть контур в зависимости от направления тока в контуре. Составляющая обеспечивает появление пары сил, действующих на элементы контура и , которые и создадут вращательный момент: .

в) потенциальная энергия контура в магнитном поле

Определим работу, которую необходимо совершить, чтобы повернуть контур в магнитном поле на угол .

Считая, что С=0, так как работа при нулевом угле поворота равна нулю, получим:

Эта работа идёт на увеличение потенциальной энергии в магнитном поле: .

2. Контур с током в неоднородном магнитном поле.

Пусть контур с током I, находится в неоднородном магнитном поле с индукцией , которая меняется вдоль оси ОХ. Для простоты будем считать, что вдоль других осей координат изменением индукции можно пренебречь.

Рис14.

 

Тогда на каждый элемент будет действовать сила . Эти силы будут образовывать конический веер. Каждую из этих сил можно разложить составляющие, одна из которых будет направлена так, что при её воздействии (при направлении тока указанном на рис.) контур будет втягиваться в область более сильного поля. Если изменить направление тока, то силы будут выталкивать контур из магнитного поля.

В механике было получено, что ,

где W – потенциальная энергия системы.

 

В нашем случае эта энергия равна , следовательно

Если индукция магнитного поля меняется по всем направлениям, то

 

Магнитный поток. Механическая работа в магнитном поле.

Проводник с током длиной , представляющий собой участок замкнутой цепи, может свободно перемещаться при помощи скользящих контактов во внешнем однородном магнитном поле. Вектор индукции магнитного поля направлен от нас за чертёж

Рис.15.

По проводнику течёт ток I. При направлении тока указанном на Рис. На проводник будет действовать сила, направленная влево и численно равная согласно закону Ампера: .

При перемещении проводника на отрезок будет совершена работа равная: , где .

Назовём потоком вектора магнитной индукции физическую величину, численно равную: ,

где проекция вектора на направление положительной нормали к поверхности рассматриваемого контура.

В случае, если и , то dФ , и элементарная работа будет равна

Полученный результат справедлив и для неоднородного поля, ориентированного произвольно к поверхности, в которой лежит проводник.

Для того, чтобы доказать это, надо разбить проводник на элементарные отрезки da и просуммировать все элементарные работы, совершаемые в магнитном поле над каждым элементом da:

,

где и .

 

Эту работу совершает не сила Лоренца, работа которой всегда равна нулю, а силы источника, поддерживающие ток в проводнике.

 

 

ЛЕКЦИЯ 7.

 

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ.

1. Намагничивание магнетиков. Вектор намагниченности.

2. Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

3. Напряженность магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

4. Магнитомеханические явления.

5. Виды магнетиков

 

Намагничивание магнетиков. Вектор намагниченности.

До сих пор мы рассматривали взаимодействие проводника с током и магнитного поля в вакууме. Однако все вещества по-разному реагируют на внешнее магнитное поле.

Другими словами, среда должна оказывать свое дополнительное влияние на это взаимодействие.

Любое вещество в магнитном поле приобретает новые свойства – намагничивается.

Намагниченное вещество создаёт своё собственное магнитное поле , которое накладывается на внешнее .

Для объяснения процесса намагничивания вещества Ампер предложил следующую гипотезу.

Он считал, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем его пространстве магнитное поле. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты молекулярных токов ориентированы произвольным образом, вследствие чего, результирующее поле молекулярных токов равно нулю и суммарный магнитный момент всего вещества тоже равен нулю.

Под действием внешнего поля магнитные моменты молекулярных токов приобретают преимущественную ориентацию, и у вещества появляется результирующий магнитный момент – вещество намагничивается.

Процесс намагничивания характеризуется физической величиной, которая называется вектором намагничивания или намагниченностью.

Вектором намагничивания называется векторная физическая величина, равная векторной сумме магнитных моментов молекулярных токов в единице объёма вещества (магнетика).

Единицей измерения намагниченности в системе СИ является ампер, делённый на метр А/м.

 

Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции

Определим, чему равен поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность с учётом полей молекулярных токов:

Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты, очевидно, что линии полей, созданных молекулярными токами, тоже будут замкнутыми. В результате, каждая силовая линия пересекает замкнутую поверхность как минимум дважды. Причём один раз она входит в поверхность и считается положительной, второй раз выходит из неё и считается отрицательной. Поэтому оба интеграла дадут сумму равную нулю, т.е.

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю.

 

Напряженность магнитного поля. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

Запишем теорему о циркуляции вектора с учетом молекулярных токов:

 

- как циркуляция вектора магнитной индукции внешнего поля, образованного макротоками.

тоже должен определяться суммой всех молекулярных токов, т.е.

Окончательно получим:

 

Можно доказать, что , где проекция вектора намагничивания на направление .

Подставив этот интеграл в выражение, отмеченное звёздочкой, получим:

 

Напряжённостью магнитного поля называют векторную величину равную:

Векторы и не являются аналогами друг друга. Существенным отличием является то, что циркуляцию по замкнутому контуру определяют только реальные токи, охватываемые рассматриваемым контуром без учёта среды.

В вакууме =0, и тогда .

Реакцию среды на внешнее магнитное поле характеризуют коэффициентом намагничивания или магнитной восприимчивостью (хи).

 

 

Для изотропного магнетика получим:

и называется магнитной проницаемостью.

Магнитомеханические явления.

Природа молекулярных токов, существование которых было предсказано Ампером, стала понятной после опытов Резерфорда и построения им планетарной модели атома.

По Резерфорду атом представляет собой электродинамическую систему, в центре которой находится крохотное положительно заряженное ядро, вокруг которого вращаются по круговым орбитам отрицательные электроны.

Пусть электрон двигается вокруг ядра и за единицу времени он делает оборотов. При этом через элементарную площадку , расположенную перпендикулярно на пути электрона, переносится заряд, равный: .

Движущейся электрон можно рассматривать как эквивалентный ток, поскольку этот ток является круговым, то его можно рассматривать как контур с током, сила которого равна ,

Магнитный момент такого контура равен ,

где радиус орбиты электрона.

Линейная скорость электронов на орбите равна , тогда магнитный момент можно записать:

Магнитный момент, обусловленный движением электрона по круговой орбите вокруг атомного ядра, называется орбитальным магнитным моментом электрона.

Рис.16.

Направление орбитального магнитного момента связано с направлением эквивалентного тока правилом правого винта. Эквивалентный ток течёт в противоположную сторону направлению движения электрона, т.к. за положительное направление тока выбирается движение положительно заряженных частиц.

Любое материальное тело, вращающееся по окружности обладает механическим моментом (моментом импульса).

,

где импульс электрона, равный , и поскольку , то , тогда .

Или

Отношение орбитального магнитного момента элементарной частицы к её механическому моменту называют гиромагнитным отношением.

Экспериментальное наблюдения гиромагнитных эффектов

(вращение тела при намагничивании и намагничивание при вращении) позволили рассчитать гиромагнитное отношение для электрона. Оказалось, что его экспериментальное значение в два раза больше расчетного. Это позволило предположить, что за магнитные свойства вещества ответственен не орбитальный магнитный момент.

Позднее было установлено, что кроме орбитального момента электрон обладает собственными магнитным и механическими моментами, для которых гиромагнитное отношение было равно:

Что совпадало с экспериментальными результатами де Хааса и Барнета.

 

 

Виды магнетиков

В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости все вещества можно разделить на три группы:

1. Диамагнетики - это вещества, у которых и очень мала по величине . Магнитная проницаемость этих веществ практически равна единице .

2. Парамагнетики - у этих веществ и составляет величину порядка . Проницаемость парамагнетиков больше единицы .

3. Ферромагнетики - это вещества, у которых и ее значения близки к единице. Магнитная проницаемость ферромагнетиков может достигать очень больших значений (несколько десятков тысяч). Отличительной особенностью ферромагнетиков является сложная зависимость от индукции внешнего магнитного поля В, а также зависимость намагниченности от предыстории образца. Это свойство называется гистерезисом и заключается в том, что после намагничивания внутреннее поле сохраняется даже при выключении внешнего поля.

А) Диа- и парамагнетизм.

Электрон, движущейся по орбите подобен волчку, поэтому ему свойст