Под определителем третьего порядка понимается выражение

МАТЕМАТИКА

 

Конспект лекций

для студентов заочного обучения направления

«Лесное дело» и «Ландшафтная архитектура»

 

 

 

Брянск 2012

Составители: Баранова И.М., доцент,

Буров П.А., доцент,

Муравьев А.Н., доцент

 

 

Рецензенты: Гущин Г.В., к.ф-м.н, доцент БГИТА

 

Рекомендованы редакционной комиссией

механико – технологического факультета

 

Протокол № 4 от 04.12.2012 г.

 

Литература:

 

1. Баврин И.И. Высшая математика. М.: Просвещение, 1980г.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1978г.

3. Зайцев И.Л. элементы высшей математики М.:Наука, 1968г.

4. Данко П.Е., Попов А.Г. высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1974г.

5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1966г.

Определители и системы линейных алгебраических уравнений.

Литература. [2]. Гл. XVII, §1 –7

Под определителем (детерминатором) второго порядка понимается выражение

Под определителем третьего порядка понимается выражение

Числа называются элементами определителя. Индекс указывает номер строки, а индекс - номер столбца на пересечении которых стоит элемент . Так элемент расположен в первой строке и во втором столбце.

Пример:

Система вида:

называется неоднородной линейной системой алгебраических урав­нений с неизвестными. Если все свободные члены, т.е. члены не содержащие неизвестных, одновременно равны нулю, то система называется однородной. Совокупность значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением системы уравнений.

Если система имеет (не имеет ) решение, то она называется сов­местной (несовместной).

Если система имеет единственное решение, то она называется определенной. Система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.

Решить систему уравнений, значит, найти все ее решения или доказать ее несовместность.

Рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений ме­тодами Крамера и Гаусса на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными

I. Метод Крамера.

Если главный определитель системы, т.е. определитель, составленныйиз коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля, то эта систе­ма совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: , где

2. Метод Гаусса.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательного исключения неизвестных, исходная система преобразуется в эквивалентную ей ступенчатую систему. Для этого используют следующие элементарные преобразования: прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на некоторое число ; перестановка местами уравнений.

Пример. Решить систему линейных уравнений двумя способами:

а) методом Гаусса; б) методом Крамера

Решение. a) метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Первое уравнение оставим без изменения, а из второго и третьего исключим первое неизвестное, т.е. .

Для этого последовательно из второго уравнения вычтем первое, а к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на -3. Получим эквивалентную систему.

Теперь первое и второе уравнения оставляем без изменения, а из третьего исключим второе неизвестное, т.е. .

Для этого к третьему уравнению прибавим второе, умноженное на 5.

Получим

Из третьего уравнения получаем

Подставляя найденное во второе уравнение, получим

Аналогично, из первого уравнения находим

б) метод Крамера.

Найдем главный определитель системы

, так как , то система имеет

единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется определителем третьего порядка?

2. Сформулируйте свойства определителей.

3. Дайте определение неоднородной системы линейных уравнений.

4. Что называется решением системы уравнений?

5. Сформулируйте правило Крамера.

6. В чем сущность метода Гаусса?

Векторы.

Литература. [2]. Гл.17. §1-15

Вектором называется направленный отрезок. Всякий ненулевой вектор характеризуется числовым значением, называемым длиной вектора, т.е. и направлением, задаваемым лучом .

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Три и более векторов называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Любой вектор можно разложить единственным образом по базисным векторам прямоугольной системы координат, т.е. записать . Коэффициенты разложения называются координатами вектора в данной системе координат. Вектор с координатами записывают так: или . Длина вектора равна . Если даны и , то имеет координаты .

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называют число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: .

Если векторы заданы своими координатами в прямоугольной системе координат: , то .

Векторным произведением двух векторов и называется такой третий вектор , длина которого численно равны площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителях; он перпендикулярен к плоскости параллелограмма и направлен в ту сторону, с которой кратчайшее вращение от к рассматривается совершающимся против часовой стрелки.

Если векторы заданы координатами то векторное произведение их можно найти по формуле:

Угол между векторами определяется по формуле или в координатах .

Пример. Даны два вектора найти угол между этими векторами и вектор .

Решение. Так как векторы заданы в прямоугольной системе координат то для вычисления угла между векторами и воспользуемся формулой:

. .

;

.

.

Вектор векторного произведения векторов и найдем по формуле

.

Вопросы и упражнения для самопроверки

1. Что называется вектором?

2. Сформулируйте линейные операции над векторами.

3. Дать определение коллинеарности и компланарности векторов.

4. Действия над векторами заданными в координатной форме.

5. Дать определение скалярного произведения векторов

6. Как найти длину вектора?

7. Напишите формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов по их прямоугольных координатам.

8. Сформулируйте условия перпендикулярности двух векторов.

9. Напишите формулу для вычисления угла между двумя векторами.

10. Дать определение векторного произведения векторов.

11. Напишите формулу для вычисления векторного произведения векторов заданных координатами.

12. Определите угол между векторами

13. Найдите длину вектора , если .

Прямая на плоскости

Литература. [1] гл. 1. §3-5, [2] гл. 3 §1-7, [3] гл. 3 §11-20.

Имеет место теорема: всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с переменными и , и всякое уравнение вида при любых действительных значениях коэффициентов , исключая одновременно равенство нулю коэффициентов и , определяют прямую линию.

Уравнение называется общим уравнением прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным нормальным вектором : .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным направляющим вектором : .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом . Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси .

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и

. Две прямые и параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны между собой .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно минус единице: .

Если прямые и не параллельны то, для нахождения точки их пересечения надо решить систему, составленную из уравнений этих прямых:

Пример. Даны вершины треугольника . Составить уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону и уравнение медианы, проведенной из вершины . Сделайте чертеж.

 

Решение.

Найдем угловые коэффициенты прямых и . .

Так как то . Тогда уравнение высоты запишем по формуле , - уравнение высоты . Найдем координаты точки , делящей отрезок пополам:

; . Запишем уравнение медианы по формуле: ; ; ; ; - уравнение медианы .

 

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Напишите общее уравнение прямой.

2. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.

4. Напишите формулу для вычисления угла между двумя прямыми.

5. Как найти точку пересечения двух прямых?

6. Составьте уравнения прямой проходящей через точки и .

7. Дана прямая . Напишите уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной прямой.

Функции. Предел функции.

Литература. [1], гл. 2 §8-13, [2] гл. 6 §2, 4, 6-9. гл. 7 §3-13, [3] гл. 5, §40-51.

Если каждому значению переменной величины по некоторому закону ставится в соответствие одно определенное значение переменной , то говорят, что есть однозначная функция , и обозначается .

Число называется пределом функции при , если для любого существует такое, что при . Обозначается так: .

Если существуют и , то имеют место следующие теоремы:

1.

2.

3. , при . Частое применение находят следующие пределы:

Пример. Вычислить пределы: а) ; б) ;

в) .

Решение.

а) В данном примере нельзя непосредственно воспользоваться теоремой о пределе частного, так как пределы числителя и знаменателя равны бесконечности. Для раскрытия неопределенности данного вида вынесем в числителе и знаменателе за скобки, имеем

б) При непосредственной подстановке убеждаемся, что предел числителя и знаменателя равен нулю. Имеет место неопределенность . Для раскрытия ее разложим числитель на множители. Получим .

в) При числитель и знаменатель стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность .

.

Здесь использовали то, что

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Дайте определение функции.

2. Что называется областью определения функции?

3. Каковы способы задания функции?

4. Дайте определение предела функции.

5. Какая величина называется бесконечно малой?

6. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

7. Сформулируйте первый замечательный предел.

8. Вычислите пределы: , , , .

9. Какие бесконечно малые называются эквивалентными?

Производная и ее приложения.

Литература. [1] гл.3 §14-17. [2] гл.9 §1-5, гл.10 §1-15, [3] гл. 7 §60-66 гл. 8 §67-85

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

. Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой, а операция нахождения производной - дифференцированием.

Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна .

Таблица формул дифференцирования:

1. 12.

2. 13.

3. 14.

4. 15.

5. 16.

6. 17.

7. 18.

8. 19.

9. 20.

10. 21.

11.

Здесь и дифференцируемые функции от , а – постоянная.

Геометрический смысл производной

Производная функция представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой ее точке.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке имеет вид , где , .

Физический смысл производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то производная пути по времени равна скорости движения тела в данный момент времени : .

Производной второго порядка функции называется производная от первой производной, т.е. .

Физический смысл второй производной. Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения тела в данный момент времени : .

Пример. Найти производные функций:

.

Решение. а) дифференцируем функцию по формуле ,

.

б) воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции: , получим .

в)

.

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Дайте определение производной.

2. Запишите формулы производной произведения, частного.

3. В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Как найти скорость движения тела, если задан закон прямолинейного движения?

5. Запишите уравнение касательной к кривой в точке .

6. В чем состоит физический смысл второй производной?

7. Запишите формулу производной сложной функции.

8. Найдите , если .

 

Приложения производной к исследованию функций.

Литература. [1] гл. 3 § 18,19, [2] гл. 11 § 1,2, 7-10, [3] гл. 9 §86-96.

Дифференцируемая функция возрастает на промежутке , если ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

Дифференцируемая функция убывает на промежутке , если ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Функция имеет в точке максимум, если для всех , достаточно близких к , выполняется неравенство .

Функция имеет в точке минимум, если для всех значений достаточно близких к , выполняется неравенство . Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума функции.

Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в этой точке . Точки в которых называются критическими.

Первое достаточное условие существования экстремума функций. Если при перехода через критическую точку производная меняет знак, то точка экстремума. При этом если производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума, а . Если же производная меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума, а .

Говорят, что на промежутке кривая обращена выпуклостью вверх, или выпукла, если она лежит ниже касательной, про­веденной в любой ее точке.

Говорят, что кривая на промежутке обращена выпуклостью вниз или вогнута, если она лежит выше касательной, прове­денной в любой ее точке.

Точка, в которой меняется направление вогнутости кривой, называется точкой перегиба.

График дифференцируемой функции является вогнутым на промежутке , если вторая производная функции положительна в каждой точке этого промежутка.

График дифференцируемой функции является выпуклым на промежутке , если вторая производная функции отрицательна в каждой точке этого промежутка.

Необходимым условием точки перегиба дифференцируемой функции является равенство нулю второй производной, а достаточ­ным условием является то, что при переходе через эту точку меняет знак.

Прямая является вертикальной асимптотой, если . Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где , , при условии, что оба эти предела существуют.

Исследование функции в построение графиков можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Установить нечетность, четность и периодичность функции.

3. Найти точки разрыва.

4. Найти асимптоты.

5. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.

6. Найти направление вогнутости и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и при необходимости, несколько дополнительных точек.

8. Построить график, используя результаты исследования.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Функция определена для всех значений , кроме . , следовательно, функция четная и график ее будет симметричен относительно оси . и - вертикальные асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты . , . Таким образом, прямая является горизонтальной асимптотой. Найдем интервалы возрастания, убывания функции и точки экстремума. . Находим критические точки, где . ; ; . Производная не определена при . Область определения функции разбивается на четыре участка монотонности.

При , следовательно, функция возрастает.

При , следовательно, функция возрастает.

При - функция убывает.

При - функция убывает.

При переходе через точку меняет знак с на -, следовательно, будет точкой максимума. .

Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. .

не существует при .

При , следовательно, график вогнутый.

При следовательно, на этом интервале график выпуклый.

При следовательно, график вогнутый.

Точек перегиба график не имеет. Построим график.

Вопросы и упражнения для самопроверки.

1. Сформулируйте необходимые условия экстремума функции.

2. Как найти промежутки возрастания и убывания функции?

3. В чем состоит достаточное условие экстремума?

4. Как найти промежутки выпуклости и вогнутости кривой?

5. Как найти точки перегиба кривой?

6. Найдите точки экстремума функции:

Неопределенный интеграл.

Литература. [1] гл. 4 §20, 21, 28 упр1-89 [2] гл.11 §102-104 [3] гл. 13 §1-5, 10, упр. 1-32.

Как известно основная задача дифференциального исчисления сводится к нахождению по заданной функции ее производной. Неопределенный ин­теграл решает обратную задачу: по заданной производной находят первоначальную функцию.

Функцию называют первообразной для функции в интер­вале , если имеет место равенство . Так для функции первообразной служит функция , так как для любого ; для функции первообразной является функция поскольку и т.д.

Если -первообразная для функции , то множество функций , где - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом от функции и обозначают символом .

Например, , так как .

Приведем основные свойства неопределенных интегралов (Н.И.).

1. Производная от Н.И. равна подынтегральной функции, а дифференциал -подынтегральному выражению, т.е. .

2. Н.И. от дифференциала функции равен этой функции плюс произ­вольное постоянное, т.е. .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак Н.И.:

4. Н.И.от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов: .

Таблица простейших интегралов имеет вид:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

Основными методами интегрирования являются: разложения, подстановки, по частям. Интегрирование методом разложения заключается в приведении данного интеграла (по свойству 4) к сумме более простых или табличных интегралов. Метод подстановки имеет в виду следующее: положив в интеграле , получим . При интегрировании по частям берут формулу дифференциала произведения: и из нее после интегри­рования обеих частей получают формулу . Эта формула применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функций, например: или .

При этом за принимают функцию, которая дифференцированием упрощается, а за т