Первое достаточное условие перегиба.

Коллоквиум 2

Производные

1. Определение производной функции.

Определение: производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента в этой точке при . Или коротко:

2. Геометрический и механический смысл производной.

Геометрический смысл производной. производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

уравнение касательной:

y = f (x ₀) + f ’(x ₀) · (x – x ₀).

 

Механический смысл производной. ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ (t).

 

3. Определение функции, дифференцируемой в точке.

Функция называется дифференцируемой в точке , предельной для множества E, если ее приращение Δ f (x ₀), соответствующее приращению аргумента x, может быть представлено в виде

Δ f (x ₀) = A (x ₀)(x - x ₀) + ω (x - x ₀), (1)

 

где ω (x - x ₀) = о (x - x ₀) при x → x ₀.

 

4. Связь между дифференцируемостью и существованием производной.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет дифференциал.

Доказательство. Функция - дифференцируема в точке х ₀,

.

По теореме о связи предела и б.м. функции:

,

где - б.м. функция

при .

Умножим обе части на D х:

_,

_{- б.м. функция более высокого порядка, чем Dх.}

_.

Следовательно, функция имеет дифференциал и .

Теорема 2. Если функция имеет дифференциал в некоторой точке, то она имеет производную в этой точке.

Доказательство. Пусть функция имеет дифференциал . Тогда

_.

Разделим обе части на D х:

_.

Переходя к пределу при , получим

_.

Таким образом, функция имеет производную и .

Из этих теорем следует, что .

 

5. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

_.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х ₀.

Следствие. Если х₀ – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Пример. у=|х|, х₀=0.

Y

0 X

Dх>0, ;

Dх<0, .

В точке х ₀ = 0функция непрерывна, но производной не существует.

 

6. Таблица производных

7. Правила дифференцирования.

 

.

8. Производная сложной функции.

9. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием можно использовать для нахождения производных степенных, рациональных и некоторых иррациональных функций.

10. Дифференциал.

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

 

произвольное бесконечно малое приращение переменной величины.

11. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции y = f (x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

12. Производные высшего порядка.

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом . Таким образом

 

13. Формула Лейбница.

=

 

14. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом -го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

 

15. Теорема Ферма.

Короче говоря, великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ не имеет натуральных решений при n > 2. Всего-навсего.

16. Теорема Ролля.

Теорема 1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b);

3. на концах отрезка [a, b] принимает равные значения.

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что f'(c) = 0.

17. Теорема Лагранжа.

Теорема 2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с Î (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a).

 

18. Теорема Коши.

Теорема 3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)

1. непрерывны на отрезке [a, b];

2. дифференцируемы в интервале (a, b);

3. "x Î (a, b) g'(x) ≠ 0.

Тогда существует точка c Î (a, b) такая, что

 

f(b) − f(a) g(b) − g(a)

f '(c) g '(c)   = .

 

19. Формула конечных приращений.

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a). Теорема Лагранжа

20. Теоремы Лопиталя.

(Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

 

21. Необходимое условие возрастания (убывания) функции.

Необходимое условие возрастания функции. Если функция y = f (х) дифференцируема и возрастает на интервале [а, b], то f '(х) > 0 для всех х из этого интервала.

Необходимое условие убывания функции. Если функция у = f (х) дифференцируема и убывает на интервале [а, b], то f(х)<0 для всех х из этого интервала.

22. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.

Достаточное условие возрастания (убывания функции). Пусть функция у = f (x) дифференцируема на интервале [а, b], Если во всех точках этого интервала f(x)>0, то функция возрастает на этом интервале, а если f(х)<0, то функция убывает на этом интервале.

23. Экстремум функции.

Точки экстремума – точки минимума и максимума.

Точка x = x0 называется точкой максимума, а число f(x0) — максимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0, не совпадающих с x0, выполняется неравенство f(x0)>f(x).

Точка x = x0 называется точкой минимума, а число f(x0) — минимумом функции, если для всех точек из некоторой окрестности точки x0, не совпадающих с x0, выполняется неравенство f(x0)< f(x).

24. Необходимое условие существования экстремума.

Если x0 — точка экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

25. Достаточное условие существования экстремума.

Если функция y=f(x) непрерывна в точке x = x0, дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, и при переходе через точку x0 производная f'(x) меняет знак, то x = x0 — точка:

 

а) f(x0) — максимум, если f'(x)>0, при x<x0 и f'(x)<0, при x>x0.

б) f(x0) — минимум, если f'(x)<0, при x<x0 и f(x0)>0, при x<x0.

26. Достаточное условие существования экстремума (вторая производная).

Пусть дана функция , она определена в некоторой окрестности точки , ее первая производная и пусть , тогда:

1. Если , то точка – точка строгого минимума;
2. Если , то точка – точка строгого максимума.

 

27. Определение графика функции, выпуклого вверх (вниз).

Определение. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение.Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

 

28. Достаточное условие существования точки перегиба.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

 

29. Необходимое условие существования точки перегиба.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все из области определения функции, для которых и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

 

30. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз) графика функции.

Теорема 1 (достаточное условие точки выпуклости). Если функция f (x) во всех точках интервала (a, b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f ″(х) < 0, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же f ″(x) > 0 для всех х є (a, b), то график функции выпуклый вниз в этом интервале.

Доказательство. Пусть f″(х) < 0 для любого х є (a, b). Возьмем на графике произвольную точку М с абсциссой х₀ є (a, b) и проведем через М касательную (рис. 16).

31. Асимптоты графика.

Определение

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .