Свойства функции распределения.
Свойство 1. Функция распределения F(x)–неубывающая функция, т.е. для 
таких что x1<x2 
.
Пусть х1 и х2 принадлежат множеству Ωх и х1<х2.Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее, чем х2, т.е. 
, представим в виде объединения двух несовместимых событий
.
Тогда по теореме сложения вероятностей получим
, т.е.
. Поскольку 
, то
.
Свойство 2. Для любых 
Замечание. Если функция распределения F(x) непрерывная, то свойство выполняется и при замене знаков ≤ и < на < и ≤.
Свойство 3. 
, 
.
, 
.
Свойство 4. Функция F(x) непрерывна слева. (т.е. 
).
Свойство 5. Вероятность того, что значение случайной величины Х больше некоторого числа х, вычисляется по формуле.
.
Достоверное событие {-∞<x<+∞} представим в виде двух несовместимых событий. 
. Найдем их вероятности
.
Поскольку вероятность достоверного события равна единице, то
. Отсюда 
.
, причем 
.
Простейшей формой задания дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Ряд распределения можно изобразить графически. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения xi, а по оси ординат—вероятности pi. Полученные точки соединяют отрезками и получают ломаную, которая является одной из форм задания закона распределения дискретной величины.
с вероятностями 
.
;
;
.
. Дисперсия является мерой разброса значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
o Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется число 
.
Ряд распределения случайной величины Х2
.
.
.
.
.
.
, где Хi—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.
.Будем рассматривать в качестве случайной величины Х число появлений события А в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число Х появлений события А в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х1—число появлений события в первом испытании, Х2—во втором,…, Хn—в n-ом, то общее число появлений события 
. По свойству 4: 
.Согласно примеру 2 
. Таким образом, получим 
.
Теорема 2. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: 
.
Случайная величина Х—число появлений события А в n независимых испытаниях. 
, где Хi—число наступлений событий в i-ом испытании, взаимно независимые, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных.
.
. Т.к. MX1=p. 
, то 
. Очевидно, что дисперсия остальных случайных величин также равна pq, откуда 
.
Начальным моментом порядка к случайным величинам Хназывают математическое ожидание случайной величины Хk:
. В частности, 
, 
.
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии 
можно записать так: 
.
Кроме моментов случайной величины Х целесообразно рассматривать моменты отклонения Х-ХМ.
o Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х-МХ)k.
. В частности
, 
. Следовательно, 
.
Исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, можно получить формулы: 
. 
.
Моменты более высоких порядков применяются редко. Замечание. Моменты, определенные выше, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.