Методические указания
Расчёт круглых и кольцевых пластинок, находящихся под действием нагрузок, симметричных относительно полюса, представляет собой решение одномерной задачи. Функция прогиба срединной поверхности в этом случае зависит от радиуса r и не зависит от полярного угла θ, т. е. ω(r, θ) = ω. В этом случае дифференциальное уравнение изогнутой пластинки:
упрощается и принимает вид
Формулы для усилий
Общее решение неоднородного уравнения (4.2) имеет вид 
(4.6)
где ω1 – решение однородного уравнения
ω2 – частное решение неоднородного уравнения, зависящее от правой части (вида распределённой нагрузки, приложенной к пластинке).
При q I = q = const
Здесь D – цилиндрическая жёсткость пластинки
Тогда общее решение уравнения (4.2) принимает вид
Соответственно
Постоянные интегрирования А 1, А 2, А 3, А 4 определяются из граничных условий на наружном и внутреннем контуре пластины для каждой конкретной задачи (два условия на каждом контуре).
В формулах (4.9) – (4.13) принято:
Mr – радиальный изгибающий момент в сечении, перпендикулярном радиусу-вектору r в рассматриваемой точке;
Мθ – тангенциальный (кольцевой) изгибающий момент в сечении, перпендикулярном радиусу-вектору r в рассматриваемой точке;
Qr – радиальная поперечная сила на площадке с нормалью r;
Правило знаков для распределённой нагрузки q, моментов и поперечной силы показано на рис. 4.1
а) распределённая нагрузка q - вниз «+», q - вверх «-»;
б) моменты и поперечная сила
Граничные условия на внутреннем и наружном контуре кольцевой пластинки, если отсутствует нагрузка на пластину. При наличии нагрузки см. правило знаков для равномерно распределённой нагрузки, поперечных сил и моментов (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Толщину пластины h найдём исходя из IV теории прочности. Учитывая, что
τrθ = 0
Задание
Кольцевая пластинка толщиной h, наружный радиус которой r ни внутренний r внагружена симметричной нагрузкой интенсивностью q.
Требуется:
1. Используя граничные условия определить произвольные постоянные, входящие в уравнение прогиба ω;
2. Построить эпюры прогибов, поперечных сил и изгибающих моментов для диаметрального сечения пластины;
3. Подобрать толщину пластины h, используя четвёртую теорию прочности. Расчётное сопротивление материала пластины R = 200 МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,25, модуль упругости Е = 2·105МПа.
Размеры пластины взять из таблицы 4.1, а значения нагрузок – из таблицы 4.2 согласно двухзначного шифра, выданного преподавателем.
Таблица 4.1
Пример
Кольцевая пластинка жёстко закреплена по внутреннему контуру и нагружена, как показано на рис. 4.3.
Размеры кольцевой пластинки: rВ = 0,8 м; rН = 1,6 м.
Нагрузка: q = 0,2 кН/м2; Р = 9 кН/м; М = 22 кН·м/м; R = 210 МПа;
μ = 0,3.
3. Основное уравнение пластинки в полярной системе координат имеет вид
При q = const общее решение этого уравнения принимает вид:
где D – цилиндрическая жёсткость.
4. Произвольные постоянные А 1, А 2, А 3, А 4 определяем из граничных условий на наружном и внутреннем контуре пластинки.
Внутренний контур: точка А, r = 0,8 м (прогиб и угол поворота в защемлении равны нулю).
Условие (а) подставляем в уравнение (4.9), а условие (б) в уравнение (4.10):
(а) → (4.9)
В уравнениях I и II перед нагрузкой q ставится знак «-», так как она направлена вверх (ось z вниз).
Наружный контур: точка В, r = 1,6 м.
Получаем систему уравнений (I), (II), (III), (IV):
Из уравнения (IV) находим 
Подставим А 4 в уравнения (I), (II) и (III) находим остальные постоянные интегрирования:
Полученные значения А2, А3, А4 подставляем в уравнение (I) и находим
Найденные значения произвольных постоянных А 1, А 2, А 3, А 4 подставляем в уравнения (4.9), (4.11), (4.12), (4.13). После преобразований получим выражения:
Разбив величину (rH – rB) = 0,8 м на 10 равных частей по 0,08 м, определяем в граничных точках 0÷10 величины ω, Mr, Mθ, Qr (таблица 4.3). По найденным значениям строим соответствующие эпюры (рис. 4.4).
Толщину пластинки определяем по четвёртой теории прочности:
