Теорема зацепления и механизмы
Зубья зубчатых колес представляют собой некоторые поверхности, находящиеся в контакте. Таким образом, профили зубьев – это кривые (а в некоторых случаях прямые) линии.
Рисунок 1
На рисунке 1 показаны два профиля, находящиеся в контакте в точке А. Скорость точки А, принадлежащей первому профилю (V1), перпендикулярна радиусу О1А, соответственно, скорость точки А, принадлежащей второму профилю (V2), перпендикулярна радиусу О2А.
Рассмотрим проекции этих скоростей на общую нормаль (N-N), проведенную к профилям в точке их контакта (С1 – проекция скорости V1, С2 – проекция скорости V2). Могут получиться различные соотношения между значениями этих проекций:
1) С2 > С1 – точка А, принадлежащая второму профилю (А2), в направлении нормали движется быстрее точки А, принадлежащей первому профилю (А1). Второй профиль «убегает» от первого, в следующий момент произойдет разрыв кинематической пары (нарушится контакт между звеньями);
2) С1 > С2 – точка А1 в направлении нормали движется быстрее точки А2 (положение на рисунке 34 соответствует этому случаю), то есть точка А1 стремится к внедрению во второй профиль. Если вычертить следующее положение механизма, то первый профиль в области точки А будет накладываться на второй.
В теории зацепления это явление носит название «интерференция профилей». В реальном механизме это приведет к заклиниванию или поломке передачи. Очевидно, что оба этих положения недопустимы – и разрыв кинематической пары, и, тем более, заклинивание и поломка делают передачу неработоспособной;
3) С1 = С2 – условие нормальной безотрывной работы профилей.
Из рисунка 4 видно, что ΔAV1C1 подобен ΔO1AB1, и, соответственно, ΔAV2C2подобен ΔO2AB2. Из подобия треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
Здесь i12 – передаточное отношение от первого профиля ко второму (это отношение угловой скорости на входе к угловой скорости на выходе).
Из подобия треугольников O1B1W и O2B2W (W – точка пересечения общей нормали N-N с линией центров O1O2) получаем:
VW1 – скорость точки W, связанной с первым профилем,
VW2 – скорость точки W, связанной со вторым профилем.
Эти скорости совпадают не только по величине, но и по направлению (VW1⊥O1W, VW2⊥O2W, т.е. оба вектора перпендикулярны межосевому расстоянию O1O2).
Две точки совпадают по своему положению и имеют одинаковые скорости, то есть их относительная скорость равна нулю (VW1W2=0). Таким образом, точка W является мгновенным центром относительного вращения рассматриваемых профилей.
Исходя из вышеизложенного, можно следующим образом сформулировать условие работоспособности передачи, составленной из двух профилей, входящих высшую кинематическую пару:
- для нормальной безотрывной работы профилей необходимо, чтобы нормаль к этим профилям в точке контакта в любой момент времени проходила через мгновенный центр их относительного вращения.
Это условие носит название основного закона зацепления.
Профили, удовлетворяющие основному закону зацепления, называются сопряженными, а кривые, которыми они описаны являются взаимоогибаемыми кривыми.
Таким образом, передачи с постоянным передаточным отношением – это передачи с круглыми колесами, которые используются в большинстве случаев практики. В этом случае мгновенный центр при работе передачи не меняет своего положения и называется полюсом зацепления.
Эвольвентное зацепление
Подавляющее большинство зубчатых передач, применяемых в технике, имеет зубчатые колеса с эвольвентными профилем.
Эвольвента как кривая для формирования профиля зуба была предложена Л. Эйлером. Она обладает значительными преимуществами перед другими кривыми, применяемыми для этой цели, – удовлетворяет основному закону зацепления, обеспечивает постоянство передаточного отношения, нечувствительна к неточностям межосевого расстояния (что облегчает сборку), наиболее проста и технологична в изготовлении, легко стандартизируется (что особенно важно для такого распространенного вида механизмов как зубчатые передачи).
Эвольвента – это траектория движения точки, принадлежащей прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. Данная прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой она перекатывается – основной окружностью (рисунок 2 а).
а) б)
Рисунок 2
Эвольвента обладает следующими свойствами, которые используются в теории зацепления:
1) форма эвольвенты определяется радиусом основной окружности;
2) нормаль к эвольвенте в любой ее точке является касательной к основной окружности. Точка касания нормали с основной окружностью является центром кривизны эвольвенты в рассматриваемой точке;
3) эвольвенты одной и той же основной окружности являются эквидистантными (равноотстоящими друг от друга) кривыми.
Положение любой точки на эвольвенте может быть однозначно охарактеризовано диаметром окружности, на которой она расположена, а также характерными для эвольвенты углами: углом развернутости (обозначается ν), углом профиля (α), эвольвентным углом – inv α (рисунок 2 б). На рисунке 2б показаны эти углы для произвольно выбранной на эвольвенте точки Y, поэтому они имеют соответствующий индекс:
- νY – угол развернутости эвольвенты до точки у;
- αY – угол профиля в точке Y;
- inv αY – эвольвентный угол в точке Y (на окружности диаметра dY).
То есть индекс показывает, на какой окружности находится рассматриваемая точка эвольвенты, поэтому для характерных окружностей используются индексы, приведенные выше.
Например: αa1 – угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на окружности вершин первого колеса;
invα – эвольвентный угол в точке эвольвенты, находящейся на делительной окружности колеса и т.д.
Рассмотрим свойства эвольвенты. Первое свойство имеет строгое математическое доказательство, однако в рамках данного короткого курса оно не приводится.
Так как при формировании эвольвенты производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то в данный момент времени она вращается вокруг точки N (N – мгновенный центр скоростей), описывая бесконечно малую дугу окружности, которая и определяет кривизну эвольвенты в данной точке. Т.е. отрезок NY – это радиус кривизны эвольвенты в точке Y (NY= ρY).
Но отрезок NY в точности равен дуге NY0 (это та же дуга только вытянутая в прямую линию). Таким образом, имеем:
Чем больше радиус основной окружности, тем больше радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке (то есть форма эвольвенты действительно определяется величиной радиуса основной окружности).
Второе свойство также легко просматривается. Так как N – мгновенный центр скоростей, то скорость точки Y перпендикулярна радиусу NY. Но скорость точки, движущейся по криволинейной траектории, направлена по касательной к этой траектории – в данном случае по касательной к эвольвенте в точке Y.
Перпендикуляр к касательной – есть нормаль, поэтому прямая YN с одной стороны является нормалью к эвольвенте в точке Y, с другой стороны является касательной к основной окружности (как производящая прямая, перекатывающаяся по основной окружности).
То, что точка N является центром кривизны эвольвенты в точке Y, показано при рассмотрении первого свойства. Запишем некоторые зависимости, которые используются в дальнейшем при изучении геометрии эвольвентного зацепления (получаются из рассмотрения рисунка 3 б):
отсюда
Третье свойство эвольвенты очевидно из рисунка 3а. Действительно, если на производящей прямой взять две точки (А и В), то они будут описывать две совершенно одинаковых эвольвенты, причем, как бы не перемещалась производящая прямая, расстояние между этими точками не изменяется (AiBi = Const). Т.е. действительно это эквидистантные (равноотстоящие друг от друга) кривые. Но, самое важное, что это расстояние AiBi равно расстоянию между этими эвольвентами, измеренному по дуге основной окружности:
Признаком того, что два криволинейных профиля касаются (а не пересекаются), является наличие у них в точке контакта общей нормали. В связи с этим контакт двух эвольвентных профилей происходит на общей касательной к основным окружностям N1N2 (рисунок 3), которая одновременно будет являться общей нормалью к этим профилям в точке их касания в любой момент времени (на основании второго свойства эвольвенты).
а) б)
Рисунок 3
Геометрическое место точек контакта профилей, которое они занимают в процессе работы пары зубьев, называется линией зацепления. Таким образом, в эвольвентной передаче линией зацепления является прямая N1N2 (общая касательная к основным окружностям).
На рисунке 3 а показано зацепление двух эвольвентных профилей в разные моменты времени. В обоих положениях прямая N1N2 является общей нормалью к этим касающимся профилям и проходит через полюс зацепления W (мгновенный центр относительного вращения).
Это, с одной стороны показывает, что эвольвентные профили удовлетворяют основному закону зацепления, с другой стороны обеспечивают постоянство передаточного отношения, т.к. полюс зацепления не меняет своего положения в процессе работы пары (отношение O2W/O1W остается постоянным).
С изменением межосевого расстояния будет меняться только положение линии зацепления, но вся картина зацепления останется такой же, т.е. по-прежнему будет сохраняться основной закон зацепления, величина и постоянство передаточного отношения. Это очень важное свойство эвольвентного зацепления, т.к. позволяет вписывать передачу в разные межосевые расстояния, что особенно важно при проектировании коробок скоростей, планетарных и дифференциальных механизмов.
Передача оказывается малочувствительной к неточностям межосевого расстояния, что позволяет снизить требования к точности сборки.
Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям в полюсе называется углом зацепления. Угол зацепления, угол профиля на начальной окружности первого колеса и угол профиля на начальной окружности второго колеса равны между собой ( α w1= α w2= α w), поэтому все они обозначаются одинаково – α w (без числового индекса – см. рисунок 3 а).
Отрезок N1N2 называется теоретической линией зацепления. На этом участке происходит нормальная работа двух неограниченных эвольвент. В реальной передаче эвольвенты ограничены («обрезаны») окружностями вершин, поэтому вся работа пары происходит на участке линии зацепления P1P2, заключенном между окружностями вершин (рисунок 3б).
Отрезок P1P2 называется рабочей (активной) частью линии зацепления (иногда называют просто «рабочая линия зацепления», или «активная линия зацепления»). На рисунке 4б показано два положения одной и той же пары: в начале зацепления (зуб ведомого колеса работает своей вершиной, зуб ведущего колеса – нижней рабочей точкой профиля Р1), и в конце зацепления (зуб ведущего колеса работает своей вершиной и в следующий момент выйдет из зацепления, зуб ведомого колеса работает своей нижней рабочей точкой профиля Р2).
Примечание: здесь термин «нижняя» или «верхняя» точка относится к положению точек относительно основной окружности, независимо от того, как эти точки располагаются одна относительно другой в пространстве. Из двух рассматриваемых точек профиля «нижней» будет та, которая располагается ближе к основной окружности.
При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке также становится бесконечно большим, т.е. основная окружность и эвольвента превращаются в прямые линии. Эвольвентное зубчатое колесо превращается в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зуба.
Таким образом, рейка с прямолинейным профилем зуба представляет собой частный случай эвольвентного зубчатого колеса и обладает всеми его свойствами, т.е. может работать с любым эвольвентным колесом (при одном и том же модуле) без нарушения основного закона зацепления. При этом вращательное движение колеса преобразуется в поступательное движение рейки или поступательное движение рейки преобразуется во вращательное движение колеса с соблюдением постоянства передаточного отношения.
Т.к. зубчатая рейка с прямолинейным профилем зуба с одной стороны имеет простые формы и легко задать размеры ее элементов, с другой стороны представляет собой эвольвентное зубчатое колесо, то ее параметры положены в основу стандартизации эвольвентных зубчатых колес. Стандартная зубчатая рейка называется исходным контуром (рисунок 4а).
а) б)
Рисунок 4
Имеется несколько стандартов на исходные контуры, учитывающие специфику некоторых видов передач (мелкомодульных, конических и т.д.). В основном используются параметры, определенные ГОСТ 13 755 – 81.
В соответствии с этим стандартом исходный контур имеет следующие параметры:
α = 200 – угол профиля исходного контура (основной параметр, определяющий ряд эвольвент, используемых для зубчатых передач в соответствии с этим стандартом, поэтому часто в конструкторской практике говорят, что у нас в стране используется «двадцатиградусная» эвольвента);
ha*= 1 – коэффициент высоты головки зуба;
c*= 0,25 – коэффициент радиального зазора (по другим стандартам в зависимости от модуля и типа инструмента с* может быть равен 0,2; 0,3; 0,35).
Приведенные коэффициенты являются безразмерными величинами. Абсолютное значение какого-либо размера получается умножением соответствующего коэффициента на модуль (например: высота головки зуба ha=ha*⋅m; величина радиального зазора c = c*⋅ m и т. д.). Таким образом, форма зуба остается постоянной, а абсолютные размеры определяются модулем (т.е. модуль является как бы коэффициентом пропорциональности).
По высоте зуб исходного контура делится на головку и ножку. Это деление осуществляется делительной прямой. Делительная прямая рейки – это прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины (рисунок 40б).
Высота ножки зуба несколько больше головки для обеспечения радиального зазора между вершинами зубьев одного колеса и окружностью впадин другого после сборки передачи.
Стандартные параметры исходного контура на эвольвентное колесо «переносятся» через делительную окружность (на делительной окружности шаг равен стандартному шагу исходного контура p= π ⋅ m, угол профиля равен углу профиля исходного контура α = 200).
Элементы зубчатого зацепления. Стандартами на зубчатое зацепление вводятся определенные обозначения параметров:
Z – число зубьев колеса;
d – диаметр;
h – высота;
p – шаг (расстояние между одноименными профилями зубьев, измеренное по дуге какой-либо окружности);
S – толщина зуба (также измеряется по дуге окружности);
e – ширина впадины между зубьями;
a – межосевое расстояние.
Вводятся также буквенные индексы, показывающие, к какой окружности относится параметр:
w – начальная окружность;
b (или B) – основная окружность;
a – окружность вершин;
f – окружность впадин;
Y – окружность произвольного радиуса;
Без буквенного индекса – делительная окружность. Делительная окружность – это окружность, на которой шаг (и угол профиля) является стандартным:
Как видно из формул, вносить в стандарт непосредственно значения шага неудобно, т.к. при этом диаметр делительной окружности всегда будет величиной иррациональной (при изготовлении круглых деталей измеряют диаметры, поэтому надо, чтобы именно диаметры имели удобную величину). Поэтому в стандарт вводится величина, характеризующая отношение шага к числу π, которая называется модулем зацепления (обозначается "m" и представлена в стандарте в миллиметрах).
Таким образом, основные параметры делительной окружности определяются следующими формулами:
Модуль зацепления, с одной стороны обеспечивает условие взаимозаменяемости колес (работать в паре могут любые колеса одного модуля), с другой стороны определяет область применения зубчатых передач, передачи с m<1мм – мелкомодульные передачи – применяются в основном в небольших приборах, в общем машиностроении обычно применяют модули в пределах от 2мм до 5мм, модули более 10мм применяются в передачах тяжелого машиностроени).
Кроме буквенных индексов используются также индексы числовые. При расчете одной пары колес принято обозначать индексом "1" меньшее колесо пары (которое часто называют шестерней), индексом "2" – большее колесо.
Ниже приведены примеры обозначений параметров колес:
dw1, dw2 – диаметры начальных окружностей колес пары;
df1, df2 – диаметры окружностей впадин;
d1, d2 – диаметры делительных окружностей;
S1 – толщина зуба на делительной окружности первого колеса;
Sa2 – толщина зуба на окружности вершин второго колеса;
SY1 – толщина зуба на произвольно выбранной окружности;
ew1 – ширина впадины между зубьями на начальной окружности первого колеса;
haw1 – высота головки зуба первого колеса (часть зуба, расположенная вне начальной окружности);
hwf2 – высота ножки зуба второго колеса (часть зуба, расположенная внутри начальной окружности);
a – делительное межосевое расстояние (сумма радиусов делительных окружностей);
aw – межосевое расстояние (сумма радиусов начальных окружностей).
Следует обратить внимание на то, что шаги на начальных, делительных и основных окружностях для обоих колес пары одинаковы, поэтому в обозначениях этих параметров численный индекс отсутствует:
pw1=pw2=pw – шаг на начальной окружности;
p1=p2=p – шаг на делительной окружности;
pb1= pb2=pb – шаг на основной окружности (основной шаг).
Принятая система удобна, т.к. дает возможность по обозначению легко определить, что это за параметр и к чему он относится.
Систему часто называют модульной. Существуют системы, где основной величиной является шаг – «питч» и система называется питчевой. Системы не взаимозаменяемы.