Ход урока
Организационный момент.
Тема сегодняшнего урока: « Вычисление площади криволинейной трапеции методами приближенного вычисления в среде MS Excel и методом определенного интеграла.»
Мы с Вами прошли раздел интегрального исчисления, научились вычислять неопределенные и определенные интегралы, с помощью определенного интеграла научились решать физические и геометрические задачи.
Давайте вспомним.
Вопросы:
1. Что такое интегрирование?
Ответ: Интегрирование – нахождение функции по ее производной или по ее дифференциалу
2. Какие бывают интегралы?
Ответ: Неопределенные и определенные
3.Чем отличается неопределенный интеграл от определенного?
Ответ: у определенного интеграла есть пределы интегрирования, а у неопределенного их нет.
4.В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?
Ответ: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Вспомним немного истории: интегральное исчисление было предложено в 17 в. И.Ньютоном и Г. Лейбницем.
К сегодняшнему уроку Вам было задано подготовить небольшой доклад об истории возникновения интегрального исчисления.
Выступления студентов.
Сам знак ∫ возник из первой буквы S латинского слова Summa. Но ведь при Евдоксе и Архимеде (400 г до н.э.) не было интегралов. Как же находили площади нестандартных фигур?
Возможные ответы учащихся …
1. Методом прямоугольников (с недостатком и с избытком)
2. Методом трапеций
Вопрос классу: Давайте вспомним: Что называют криволинейной трапецией?
Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная отрезком [a; b], графиком непрерывной функции не изменяющей своего знака на заданном отрезке и прямыми х=а и x=b.
(на доске через проектор)
 | | | |
У У У У
у=f(x) у=f(x)
a b Х
 |
y=f(x)
a 0 b Х y=f(x)
0 a b Х a 0 b Х
Вычислим площадь криволинейной трапеции приближенными способами.
У каждого на столе лежат карточки с двумя заданиями.
Метод прямоугольников
с недостатком с избытком
Y Y
f(xn) y=f(x) f(xn) y=f(x)
f(x0) f(x0)
S1 S1
dx dx
0 х0 хn X 0 х0 хn X
dx – шаг разбиения
х0 + dx = х1 f(x0) – значение функции в точке х0
…
xn-1 + dx = xn f(xn) - значение функции в точке xn
S1пр = F(x0) * dx n-1 n
S2пр = F(x1) * dx S фигуры = Σ Si S фигуры = Σ Si
… (с недостатком) i=0 (c избытком) i=1
Si пр = F(xn-1) * dx
2. 
Метод трапеций Х y=f(x)
f(xn)
S1трап = (F(x0) + F(x1)) / 2 * dx
S2трап = (F(x1) + F(x2)) / 2 * dx
… f(x0)
Si трап = (F(xn-1) + F(xn)) / 2 * dx S
dx
n 0 x0 xn Y
S фигуры = Σ Si
трапеции i=1
На предыдущих уроках мы изучили функции ЭТ, составляли таблицы, строили диаграммы. Сегодня на уроке, используя возможности ЭТ, мы рассмотрим три метода приближенного вычисления площади криволинейной трапеции:
· метод прямоугольников с недостатком;
· метод прямоугольников с избытком;
· метод трапеций.
Наша цель дублирование и повторение пройденной темы по алгебре, и углубление понятий, связанных с интегральным исчислением.
Реализуем все методы через электронную таблицу.
Что нам необходимо знать?
1. Функцию
2. Пределы интегрирования
3. Шаг интегрирования (разбиения)
Рассмотрим на примере: 1. Функция Y= 
,
ограниченная прямыми y = 0, x = 1, x = 2
2. Пределы интегрирования [1,2]
3. Шаг интегрирования dx = 0.1
Ресурсы ЭТ
1. Заголовочная часть.
2. Начальное и конечное значения аргумента (пределы интегрирования).
3. Шаг разбиения.
Заполним ЭТ в соответствии с тремя рассмотренными способами, при этом учтем следующее:
1. Вспомним, что обозначает «######» при работе с формулами или с числами? (Не хватает места для записи чисел или формул, следовательно необходимо увеличить ширину колонки)
2. Можно ли заносить в одну ячейку числовую и текстовую информацию? (Нельзя)
3. Какую команду следует использовать для облегчения многократного ввода и идентичного вычисления данных? (Копирование)
1. Поменяем шаг интегрирования с dx = 0,1 на dx = 0,5 следовательно изменится количество значений аргумента и соответствующих им значений функций, поэтому применяя команду копирования необходимо взять заведомо большее количество значений аргумента.
2. Рассмотрим графическое представление данной функции при различных dx.
Задание:
1. Найти площадь криволинейной трапеции, заданной функцией Y= всеми тремя способами. Сначала с шагом интегрирования dx = 0,1, а затем с шагом dx = 0,5.
2. Сравнить результаты вычислений, полученных при вычислении через электронную таблицу с найденным значением интеграла данной функции
= 0,5 кв. ед
Сравнив все полученные результаты, какой вывод можно сделать?
1. От чего зависит точность вычисления площади криволинейной трапеции?
2. Какой из способов дает более точное значение? Как вы думаете, почему?
Итак, подведем итог:
Точность вычисления площади криволинейной трапеции зависит:
1. От шага разбиения, т.е. шага интегрирования (чем меньше шаг, тем больше точность вычисления.
2. От метода, применяемого к функции.
3. Наиболее точное значение вычисления площади криволинейной трапеции дает метод трапеций по отношению к точному результату
4. Самый точный результат получается при вычислении площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.
.
Домашнее задание: (выдается на отдельных листочках каждому учащемуся)
Используя методы приближенного вычисления площади криволинейной трапеции, найти площади фигур с помощью MS Excel и сравнить их с точным значением интеграла. Полученные значения записать в тетрадь и сделать вывод.
Найти площадь криволинейной трапеции тремя различными способами и сравнить их с точным значением интеграла.
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции У = 1/(Х + 2)2 +1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции У = Х3 + 1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Литература
1. Н. Угринович Информатика и информационные технологии 10-11, Москва, Бином, Лаборатория знаний, 2007 г.
2. Н. Угринович Практикум по информатике и информационным технологиям 10-11, Москва, Лаборатория базовых знаний, АО «Московские учебники», 2007 г.
3. «Математический энциклопедический словарь», М., «Советская энциклопедия», 1988 г.
4. В.С. Крамор «Повторяем и систематизируем школьный курс Алгебры и начала анализа», М., 1990 г.
5. А.М. Рубиков, К.Ш. Шапиев «Элементы математического анализа», М., Просвещение, 1982 г.
6. А.Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10 – 11 класса общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2006 г.
КАРТОЧКА 1
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 2
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 3
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 4
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 5
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 6
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 7
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 8
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 9
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 10
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 11
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с недостатком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 12
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом прямоугольников с избытком с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 13
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,5
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
КАРТОЧКА 14
1. Задана функция у= 1/х2
а) построить график заданной функции;
б) вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и прямыми х=1, х=2 методом трапеций с шагом разбиения dх=0,1
2. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком заданной функции, прямыми х=1, х=2 с помощью определенного интеграла
Домашнее задание
Используя методы приближенного вычисления площади криволинейной трапеции, найти площади фигур с помощью MS Excel и сравнить их с точным значением интеграла. Полученные значения записать в тетрадь и сделать вывод.
Найти площадь криволинейной трапеции тремя различными способами и сравнить их с точным значением интеграла.
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции
У = 1/(Х + 2)2 +1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2
Криволинейная трапеция ограничена графиком функции
У = Х3 + 1 и прямыми У = 0, Х = 0, Х = 2