Тема: Основные понятия. Крутящий момент
Под кручением понимается такой вид деформации, когда в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент M k, (другое обозначение T, M z), а остальные силовые факторы (нормальная и поперечная силы и изгибающие моменты) отсутствуют.
Или другое определение к ручением называют деформацию, возникающую при действии на стержень пары сил, расположенной в плоскости, перпендикулярной к его оси (рис.1).
Кручение возникает в валах, винтовых пружинах, в элементах пространственных конструкций и т.п.
Деформация кручения наблюдается если прямой брус нагружен внешними моментами (парами сил M), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси
В чистом виде деформация кручения встречается редко, обычно присутствуют и другие внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные силы).
Стержни круглого или кольцевого сечения, работающие на кручение, называют валами.
Внешние крутящие моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес, там, где поперечная нагрузка смещена относительно оси вала.
Мы будем рассматривать прямой брус только в состоянии покоя или равномерного вращения. В этом случае алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, будет равна нулю.
При расчете брусьев, испытывающий деформацию кручения, на прочность и жесткость при статическом действии нагрузки, надо решить две основные задачи. Это определение напряжений (от M k), возникающих в брусе, и нахождение угловых перемещений в зависимости от внешних скручивающих моментов.
При расчете валов обычно бывает известна мощность, передаваемая на вал, а величины внешних скручивающих моментов, подлежат определению. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.
В ряде случаев величины внешних крутящих моментов определяются по величине потребляемой мощности и по скорости вращения вала. Если вал делает в минуту n оборотов (n- частота вращения, единицы измерения - об/мин.), то вращающий момент можно найти по формуле: Мвр=P/ n,
эта формула дает значение момента в Н·м, если мощность выражена в Вт, а частота вращения n - об/мин.
Построение эпюр крутящих моментов
Для определения напряжений и деформаций вала необходимо знать значения внутренних крутящих моментов M k (M z) в поперечных сечениях по длине вала. Диаграмму, показывающую распределение значений крутящих моментов по длине бруса, называют эпюрой крутящих моментов. Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
В простейшем случае, когда вал нагружен только двумя внешними моментами (эти моменты из условия равновесия вала Σ M z=0 всегда равны друг другу по величине и направлены в противоположные стороны), как показано на рис. 1, крутящий момент M z в любом поперечном сечении вала (на участке между внешними моментами) по величине равен внешнему моменту |M1|=|M2|.
Рис. 1. Возникновение крутящего момента Mz в сечении вала
В более сложных случаях, когда к валу приложено несколько внешних моментов, крутящие моменты M k в поперечных сечениях различных участков вала неодинаковы.
На основании метода сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения.
При расчетах на прочность и жесткость знак крутящего момента не имеет никакого значения, но для удобства построения эп. M k примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки (рис.2).
Рис. 2. Знак крутящего момента M z
При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.1) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью
из которой вытекает следующая формула:
где 
– крутящий момент в начале участка.
Согласно формуле (5.2) на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.
Рис. 3
На рис.4, а изображен стержень, жестко защемленный в правом концевом сечении, к которому приложены три внешних скручивающих момента.
Рис.4
В нашем случае крутящие моменты в их поперечных сечениях удобно выражать через внешние моменты, приложенные со стороны свободного конца бруса.
Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.
Крутящий момент M z1 в сечении I численно равен M 1=200 нм и, согласно принятому правилу знаков, положителен.
Крутящий момент M z2 в сечении II численно равен алгебраической сумме моментов M 1 и M 1, т.е. M z2 =200-300=-100 нм, а его знак зависит от соотношения этих моментов.
Аналогичным образом вычисляется крутящий момент M z3 в сечении III: M z3 =200-300+500=400 нм.
Изменение крутящих моментов по длине вала покажем с помощью эпюры крутящих моментов. На рис.4, б показана такая эпюра для стержня, изображенного на рис. 5.4, а.
Каждая ордината эп. M k в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том поперечном сечении бруса, которому соответствует эта ордината.
В сечении, в котором к брусу приложен внешний скручивающий момент, ордината эпюры изменяется скачкообразно на величину, равную значению этого момента.
Следует учитывать, что наибольший внешний скручивающий момент, приложенный к брусу, не всегда равен наибольшему крутящему моменту, по которому ведется расчет бруса на прочность и жесткость.
Пример 1.
Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.6 а).
Рис.6
.
Решение.
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
3. По найденным значениям строим эпюру 
(рис.6, б).
Пример 2.
Рассмотрим расчетную схему вала, нагруженного двумя сосредоточенными моментами М и 2 М и распределенными по длине: т (рис. 7).
Рис. 7. Построение эпюры внутренних крутящих моментов:
а – расчетная схема; б – первый участок, левая часть; в – второй участок, левая часть;
г – третий участок, правая часть; д – эпюра внутренних крутящих моментов
Решение.
В исходных сечениях 1–1; 2–2; 3–3 задаются положительными значениями внутренних крутящих моментов М 1, М 2, М 3. Пусть 
.
Для первого участка (рис. 7, б):
Σ Mk = M 1 + M = 0;
M 1 = – M = ml = const.
Для второго участка (рис. 7, в):
Для третьего участка (рис. 7, г):
Границы измерения параметра х 3 в следующей системе координат: 
Тогда
Отмеченные значения ординат откладываются на эпюре внутренних крутящих моментов (рис.7, д).
Пример 3.
На рис. 8 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу (рис.8, с) изображена суммарная эпюра М кр.
Рис.8 a) заданный стержень с нагрузкой; b) отсеченные части стержня;
с) эпюра крутящих моментов.
Решение.
В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3–го участка.
Участок 3 (рис. 8, b). Неизвестный момент M кр3 прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части:
Σотсеч mz3= M кр3 +5=0; → M кр3 = -5 тм, (0≤z3 ≤2).
Участок 2 (рис. 8, b). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты z2 :
Σотсеч mz2= M кр2 +3(4-z2 ) -15 +5=0; → M кр2 =10 – 3(4-z2), (0≤z2≤2).
Точка z2 =0, M кр2 =10 – 12= -2 тм.
Точка z2 =4, M кр2 =10 – 0= 10 тм.
Участок 1 (рис. 8, b):
Σотсеч mz1= M кр1 +3∙4+5+5-15=0; → M кр1 = -7 тм, (0≤z1 ≤2).
Найдем реактивный момент в заделке M 0 из условия равновесия всего стержня Σmz =0, это дает M 0 +3∙4+5+5-15=0 и M0 = -7 тм, что совпадает с M кр1 , найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.