В общем случае система счисления – это приемы обозначения чисел.
Существуют непозиционные (знаковые) системы счисления и позиционные (поместные) системы счисления.
В непозиционной системе счисления числа изображаются набором знаков (цифр), при этом значение одного и того же знака остается неизменным (то есть не зависит от его расположения в числе). Примером такой системы счисления является Римская система счисления, в которой используются, в частности, следующие буквы латинского алфавита: один обозначают буквой «I», пять – «V», десять – «X», пятьдесят – «L», сто – «C», пятьсот – «D», тысяча – «M». Число формируется из этих знаков, при этом, если предыдущая цифра меньше последующей, то производится вычитание (из большей (последующей) цифры вычитается меньшая (предыдущая)), иначе цифры складываются. Например, II=1+1=2, III=1+1+1=3, IV=5–1=4, XVIII=10+5+1+1+1=18, XIX=10+(10–1)=19, XX=10+10=20, XXI=10+10+1=21. Следует отметить, что в непозиционной системе счисления неудобно выполнять арифметические операции над многозначными числами.
В позиционной системе счисления числа также представляются набором знаков (цифр), при этом один и тот же знак имеет различные значения в зависимости от его расположения в числе, то есть позиционная система счисления – это система счисления базирующаяся на позиционном расположении цифр. В зависимости от количества цифр, использующихся в позиционной системе счисления, различают двоичную позиционную систему счисления (содержит две цифры: 0 и 1), троичную позиционную систему счисления (используются три цифры: 0, 1, 2) и другие позиционные системы счисления, среди которых отметим, также, восьмеричную (используется 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) и шестнадцатеричную (используется 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, здесь A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15). Количество цифр, использующихся в конкретной системе счисления, называют основанием данной позиционной системы счисления. Следует отметить, что наибольшая цифра в какой–либо позиционной системе счисления на единицу меньше основания этой позиционной системы счисления.
Как известно, наиболее широкое распространение получила десятичная позиционная система счисления, имеющее основание 10 (то есть используется десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Эта система счисления возникла в середине первого тысячелетия н. э. в Индии, затем распространилась далее, в частности, была описана в рукописях на арабском языке, затем появилась в Европе. В десятичной системе счисления десять единиц младшего разряда объединяются в одну единицу следующего (старшего) разряда и запись производится справа налево (то есть вначале записывают единицы, затем справа от единиц – десятки и т.д.). Проиллюстрируем это простейшим примером. Допустим, некоторые предметы (например, яблоки) упаковали в пакеты по десять яблок в каждый пакет, а пакеты разложили по коробкам (в каждую коробку – по десять пакетов). Всего получилось 2 полных коробки (по 10 пакетов в каждой), осталось 9 полных пакетов (по 10 яблок в каждом) и еще осталось 3 яблока. Сколько было яблок? Это можно записать так: 2·100+9·10+3·1, или 2·102+9·101+3·100, но, как известно, это число записывают так: 293.
Если в один пакет помещается 16 яблок, а в коробку – 16 пакетов, то разложив эти же 293 яблока по пакетам и коробкам (указанного большего объема) получим 18 полных пакетов (по 16 яблок) и останется еще 5 яблок. Затем, положив пакеты в коробки, получим 1 полную коробку (по 16 пакетов, то есть всего в коробке будет 256 яблок) и останется 2 пакета (по 16 яблок). Таким образом, разложив эти яблоки, получим 1 полную коробку (по 256 яблок), 2 пакета (по 16 яблок) и еще 5 яблок. Это можно записать так: 1·256+2·16+5·1, или 1·162+2·161+5·160, но это число записывают так: 12516. Здесь индекс 16 означает, что число представлено в системе счисления с основанием 16. В этой (шестнадцатеричной) системе счисления шестнадцать единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда. Таким образом, записи 2·102+9·101+3·100=293 и 1·162+2·161+5·160=12516 определяют одну и ту же величину (в различных системах счисления).
В общем случае, если основание системы X, то в ней X единиц младшего разряда объединяются в одну единицу старшего разряда, то есть натуральное число в системе счисления с основанием X может быть представлено следующим образом:
an Xn + an–1 Xn–1 +…+a2 X2 +a1 X1 +a0 X0 = (an an–1…a2 a1 a0)X
Здесь цифра a0 обозначает количество единиц младшего разряда, цифры a1 a2…an–1 an обозначают количество единиц следующих разрядов. Например:
· в двоичной системе счисления
110001102=1·27+1·26+0·25+0·24+0·23+1·22+1·21+0·20
· в троичной системе счисления
211003=2·34+1·33+1·32+0·31+0·30
· и так далее…
· в восьмеричной системе счисления
3068=3·82+0·81+6·80
· в десятичной системе счисления
198=1·102+9·101+8·100
· в шестнадцатеричной системе счисления
C616=C·161+6·160
Примечание: наиболее древней позиционной системой счисления, является система с основанием 60, которая в настоящее время, в частности, используется при обозначении единиц измерения времени: 1 час=60 мин, 1 мин=60 сек.