Исследование устойчивости системы сводится к определению знаков вещественных частей корней характеристического уравнения системы. Но решение уравнений четвертой и более высоких степеней может встречать затруднения. Поэтому применяются косвенные методы анализа устойчивости без определения корней характеристического уравнения, по определенным критериям устойчивости.
Проверку факта отрицательности вещественных частей корней можно выполнять тремя способами:
- вычислив корни непосредственно, с использованием готовых программ;
- связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования;
- судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.
Первые два способа называют алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные и удобные правила проверки устойчивости. Однако сам по себе критерий устойчивости не обязан быть необходимым и достаточным условием устойчивости системы.
Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0,..., an > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0 > 0. Рассмотренное условие является необходимым, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.
Критерий Рауса
Критерий Раусса являются алгебраическим критерием и позволяет по коэффициентам хар-го ур. замкнутой системы определить место нахождения корней без решения хар-го ур. Критерий Раусса представляет собой правило, оформленное в виде таблицы, при этом коэффициенты уравнения, имеющие четные индексы записываются в первую строку, имеющие нечетные индексы- во вторую строку, остальные строки которых всего (n+1) и столбцы таблицы заполняются по предыдущим известным строкам на основе определенного правила.
Если в полученной таблице все коэффициенты первого столбца при а0>0, то вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны и система устойчива.
Если хотя бы один коэффициент первого столбца 0, то система неустойчива при этом число переменных знаков этого столбца показывает число корней с положительной вещественной частью. Т.о. критерий Раусса имеет формулировку:
Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все величины первого столбца были >0 при положительном коэффициенте a0 при старшем члене хар-го ур.
Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ.
Недостаток критерия Раусса: большой объем арифметических вычислений при высокой степени хар-го ур.
Пример 1. Оценить по Раусу устойчивость системы с характеристическим уравнением D(s) = s5 + 2s4 + 3s3 + 4s2 + 5s + 6 = 0.
Необходимое условие ai > 0 выполняется.
Проверяем достаточное условие – составляем таблицу Рауса: число строк
равно числу коэффициентов (шесть), число столбцов 6/2 = 3.
Заполняем две первые строки попарно коэффициентами с четными a0, a2, a4 и нечетными a1, a3, a5индексами. Последний коэффициент an = a5 = 6 смещается вниз и влево ходом шахматного коня (три клетки вниз и одна влево), ниже него записываем нули.
Вычисляем вспомогательное число и элементы третьей строки: r3 = с1,1/c2,1 = a0/a1 = 1/2 = 0,5; откуда с31 = 3 - 4·0,5 = 1; с32 = = 5 - 6·0,5 = 2, затем элементы остальных строк.