Определитель не меняется при транспонировании. IAI=IAI стТ. Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя будут членами и во втором, но с обратными знаками, т. е. от перестановки двух строк определитель лишь меняет знак.Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Так как число k может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной его строки другой строки, умноженной на некоторое число. Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
Св-ва определителей:1) Постоянный множитель из элементов какого либо ряда можно выносить за знак определителя. 2) Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо
ряда равны нулю.3) Определитель равен нулю, если все элементы какого-либо
ряда равны нулю.
12. Преобразования определителя изменяющие его величину. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то все члены первого определителя будут членами и во втором, но с обратными знаками, т. е. от
перестановки двух строк определитель лишь меняет знак.Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. 5) Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k,
то сам определитель умножится на k. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю. Если все элементы i-й строки, определителя n-го порядка представлены в виде, суммы двух слагаемых: aij = bj + cj,то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, — такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом - из элементов cj. 8) Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются
соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Так как число k может быть и отрицательным, то определитель не меняется и при вычитании из одной его строки другой строки, умноженной на некоторое число. Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
13. Лемма о миноре. Пусть дан определитель d порядка n. Берем целое число k, удовлетворяющее
условию 1 ≤ k ≤ n — 1, и в определителе d выбираем произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, т. е. принадлежащие к одной из выбранных строк и к одному из выбранных столбцов, составляют, очевидно, матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка определителя d.
Произведение любого минора М k-го порядка на его алгебраическое
дополнение в определителе d является алгебраической суммой, слагаемые, которой получающиеся от умножения членов минора М на взятые со знаком (-1)^S m члены
дополнительного минора М', будут некоторыми членами определителя d, причем их знаки
в этой сумме совпадают с теми знаками, с какими они входят в состав определителя. Аij обозначим алгебраическое дополнение элемента аij, т. е. Аij = (-1)^i+j M'.
Утверждение. Определитель d равен сумме произведений всех элементов
произвольной его строки на их алгебраические дополнения. (Аналогичное разложение
определителя можно получить и по любому его столбцу.) d = аi1Аi1 + ai2Ai2 +... + ainAin.
14. Теорема Лапласса. Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк
(или k столбцов), 1 ≤ k ≤ n — 1. Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка,
содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна
определителю d.
Число миноров, по которым берётся сумма в теореме Лапласа, равно числу способов выбрать k столбцов из n, то есть биномиальному коэффициенту (n/k).
Доказательство. Рассмотрим сумму произведений всех элементов произвольной k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой, скажем, i-ой строки матрицы А. Пусть A′ – матрица, у которой все строки, кроме i-ой, такие же, как у матрицы А, а элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матрицы А. Тогда у матрицы A′ две одинаковые строки и, следовательно, по свойству матрицы об одинаковых строках имеем, что |A′| = 0. С другой стороны, по следствию 1 определитель |A′| равен сумме произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i-ой строки матрицы A′ совпадают с алгебраическими дополнениями соответствующих элементов i-ой строки матрицы А. Но элементами i-ой строки матрицы A′ являются соответствующие элементы k-ой строки матри- цы А. Таким образом, сумма произведений всех элементов i-ой строки матрицы A′ на их алгебраические дополнения с одной стороны равна нулю, а с другой стороны равна сумме произведений всех элементов k-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов i-ой строки матрицы А.
Так как строки и столбцы матрицы равносильны относительно свойств определителя, теорему Лапласа можно сформулировать и для столбцов матрицы.
15.Разложение определителя по строке или столбцу. Широко известен частный случай теоремы Лапласа — разложение определителя по строке или столбцу. Он позволяет представить определитель квадратной матрицы в виде суммы произведений элементов любой её строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Пусть A = (aij) — квадратная матрица размера n*n. Пусть также задан некоторый номер строки i либо номер столбца j матрицы A. Тогда определитель A может быть вычислен по следующим формулам: разложение по i-ой строке:det A=E(от n до j=1)aijAij. Разложение по j-ому столбцу: detA=E(от n до i=1)aijAij
, где Aij — алгебраическое дополнение к минору, расположенному в строке с номером i и столбце с номером j. Aij также называют алгебраическим дополнением к элементу aij.
Утверждение является частным случаем теоремы Лапласа. Достаточно в ней положить k равным 1 и выбрать i-ую строку, тогда минорами, расположенными в этой строке будут сами элементы.
Следствие 2.Сумма произведений всех элементов некоторой строки (столбца) матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю.
16. Правило Крамера. Вспомогательным определителем Dj для 1<= j<=n называется пределитель поучаемый из D заменой j-го порядка на столбец свободных членов системы. Справедливы следующие неравенства: biA1j+b2A2j+…+bnAnj=Dj; a1iA1j+a2iA2j+…+anjAnj={ D если i=j,0 в противном случае.
Лемма2.Другими словами эта формула говорит, что сумма произведений элементов столбца определителя алгебраические дополнения элементов другого столбца этого определителя равна нулю, а на свои алгебраические дополнения равна определителю. Аналогично формулируется строчный вариант этой леммы.
Th.Правило Крамера: Если главный опрделитель квадратной СЛАУ отличен от нуля,то эта система имеет единственное решение: x1=D1/D, x=D2/D,..., xn=Dn/D.
Метод Крамера требует придлизительно в n раз больше арифметических операций, чем метод Гаусса. Но в приложениях к дифференциальным уравнениям любят пользоваться этой рядовой теоремой линейной алгебры для формулировки единственности решения некоторых систем дифференциальных уравнений.
Следствие 1:Квадратная однородная СЛАУ имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда главный определитель системы равен нулю.