Основные правила проверки правильности построенных эпюр

Если к балке приложена сосредоточенная поперечная сила, то на эпюре поперечных сил будет «скачок» (рис. 8.4) на величину этой силы - точки А, В, С и Е.

Если к балке приложен сосредоточенный изгибающий момент или пара сил, то на эпюре изгибающих моментов будет «скачок» (рис. 8.4) на величину этого момента - точка D.

Если на участке приложена распределенная нагрузка q, то на эпюре Q наблюдается наклонная линия., а на эпюре М_и - кривая линия выпукло­стью на стрелки q.

Условие прочности при изгибе имеет вид

 

(8.3)

 

где - максимальные нормальные напряжения в сечении бруса, МПа;

М _и - момент изгибающий, мм;

W_z - момент сопротивления сечения осевой, мм³. Для балки круглого сечения диаметра d: ;

- допускаемое нормальное напряжение при изгибе, МПа.

Условие жесткости при изгибе задается двумя неравенствами

 

(8.4)

 

где у - максимальный прогиб балки, мм;

[у] - допускаемый прогиб, мм;

 

(8.5)

 

где - максимальный угол поворота поперечного сечения, град;

- допускаемый угол поворота поперечного сечения, град.

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении балки возникает только изгибающий момент.

 

 

При чистом изгибе в поперечном сечении балки действуют только нор­мальные напряжения растяжения или сжатия, неравномерно распределен­ные по сечению.

Распределение напряжений по сечению показано на рисунке 8.3; при этом на выпуклой стороне балки (точка 1) действуют напряжения растя­жения, а на вогнутой (точка 2) - напряжения сжатия. На нейтральной оси, линия 00, нормальные напряжения равны нулю.

 

 

 

Рисунок 8.3 - Распределение напряжений при изгибе

 

Максимальные нормальные напряжения возникают в точках 1 и 2, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую - упругую линию балки.

Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом у и углом поворота поперечного сечения , величина которых определяется из диф­ференциального уравнения упругой линии балки

EJy”= M_c. (8.6)

 

8.2 Расчетно-графическая работа №5 «Расчет балки на проч­ность при изгибе»

 

Для заданной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Схема балки взять из таблицы 1.3 по последней цифре номера зачетной книжки, а нагрузки и размеры балки - из таблицы 1.4 по предпо­следней цифре номера зачетной книжки.

 

Пример

Для заданной балки (рис. 8.4, а) построить эпюры: поперечных сил и изгибающих моментов. Исходные данные для расчета а = 100 мм, F = 1000 Н. Подобрать диаметр круглого сечения балки, если допускаемое напряжение равно 350 МПа.

 

 

 

Рисунок 8.4 - Построение эпюр Q_y, М_и

Решение

1.Определяем реакции опор. Порядок расчета смотри в РГР №1.

Проверка ;

-F + R_A-R_B+2F = 0;

-1000 + 1000-2000 + 2-1000 = 0; 0 = 0.

Реакции найдены верно.

2. Построим эпюру поперечных сил.

 

 

Разбиваем балку на участки. Границы участков - точки приложения сил, изгибающих моментов, начала и конца распределенной нагрузки и точки опор (рис. 8.4, а - точки А, В, С, Д, Е).

Определяем внутреннюю поперечную силу на участках бруса. Про­ведем произвольное сечение х_х на участке СА и, отбросив правую часть бруса, рассмотрим равновесие левой части (рис. 8.4, б). На оставшуюся часть бруса действует внешняя поперечная сила F. Она уравновешивается внутренней поперечной силой Q_y1.

Поперечная сила на участке 0<х₁<а определяется по зависимости Q_y1 =-F = 1000H. Для построения эпюры определяем значения попереч­ных сил на границах участка:

при x₁ = 0; Q_y1 =-F = -1000H;

прих x1=a; Q_y = - F = -1000H.

Так как на этом участке поперечная сила от координаты х не зависит, эпюра имеет вид прямой параллельной оси X. Поэтому соединяем точки, полученные на границах участка, прямой линией и заштриховываем об­ласть, заключённую между осью и этой прямой.

Аналогичным образом поступаем и на остальных участках.

Рассмотрим участок АД

Q_y2 = -F + R_A =-1000+ 1000 = ОН;

при х₂=a; Q_y2 = 0Н;

при х₂ = 2а; Q_y2 = 0 Н.

Участок ДВ

Q_y3 =-F + R_A = -1000 +1000 = ОН;

при x ₃=2а; Q_y3 = 0Н;

при*₃=3а; Q_y3 = 0H.

Рассмотрим участок BE. Для него сечение возьмем с другого конца балки (для упрощения расчетов)

; Q_y4 = -2F = -2000 Н;

при х₄=0; Q_y4 = -2F = -2000Н;

при х₄ = a; Q_y4= -2F = -2000Н.

По полученным значениям Q_y на границах участков строим эпюру поперечных сил (рис. 8.4, в). В местах приложения сосредоточенных попе­речных сил получаются «скачки». Размер «скачка» равен величине попе­речной силы.

3. Построим эпюру изгибающих моментов.

Определяем внутренние изгибающие моменты на участках бруса, соблюдая правило знаков (рис. 8.2). Расчет изгибающих моментов ведем для сечений x₁, х₂, х₃ и х₄, принятых при расчете эпюры поперечных сил.

 

Участок СА

; ;

при ;

при .

Участок АД

;

при х₂ = a; ;

при х₂=2а; .

Участок ДВ

;

при х₃ = 2а; ;

при x ₃=3а; .

Участок BE

;

при х₄ = 0; М_и4 = 0 Н;

при х₄ =а; .

По полученным значениям М_и на границах участков строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.4, г). В месте приложения сосредоточенного изгибающего момента получился «скачок». Размер «скачка» равен величи­не изгибающего момента М

4. Подберем круглое сечение для рассмотренной балки. Из зависимо­сти (8,3) диаметр d круглого сечения будет равен:

где - максимальное значение изгибающего момента по эпюре (рис. 8.4, г).

 

8.3 Контрольные вопросы

 

1. Какие напряжения возникают при чистом изгибе?

2. Сформулируйте условие прочности при изгибе.

3. Сформулируйте условие жесткости при изгибе.

4. Как распределяются по сечению напряжения при изгибе?

5. Чему равны нормальные напряжения на нейтральной линии?

6. Как определить максимальные нормальные напряжения при изгибе в се­чении и по длине балки?

7. Запишите правило знаков для построения эпюры поперечных сил.

8. Запишите правило знаков для построения эпюры изгибающих моментов.