Условия возрастания и убывания функции.
1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на , т. е.
.
2) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на , т. е.
.
3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , , является условие
;
необходимым и достаточным условием убывания — условие
.
Экстремумы функции.
Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство
.
Если для всех из некоторой окрестности точки верно
строгое неравенство
,
то точка называется точкой строгого локального максимума функции .
Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется
неравенство
,
то точка называется точкой локального минимума; если для всех
из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство
(,
то точка называется точкой строгого локального минимума.
Необходимое условие экстремума. Если – точка экстремума функции , то или – не дифференцируемая в точке . Точку называют критической точкой функции , если , или – не дифференцируемая в точке .
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируемая в проколотой окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда:
1) если меняет знак с «+» на «-» в точке , то - точка максимума функции ;
2) если меняет знак с «-» на «+» в точке , то - точка минимума функции .
Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируемая в проколотой окрестности точки и . Тогда:
1) если , то - точка максимума функции ;
2) если , то - точка минимума функции .
Если функция непрерывна на отрезке , то свои глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значение функции) эта функция имеет либо в критических точках, либо на концах отрезка.
Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремум функцию .
Решение. определена при всех . По формуле производной произведения ;
и - критические точки . На верхней оси рис.1 обозначено распределение знаков , а на нижней – поведение функции .
Ответ. В интервалах монотонно возрастает (), в интервале монотонно убывает, |
Рис. 1 |
- точка максимума с , - точка минимума с .
Условия выпуклости. Точки перегиба.
Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх (вогнутой вниз) на некотором интервале , если ее график на отрезке расположен не ниже (не выше) хорды , где , , то есть
.
Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна на , т. е.
, .
Условие
, ,
является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции на интервале .
Аналогично, для функции , имеющей на интервале вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие
, ,
а достаточным условием строгой выпуклости вверх — условие
, .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции . В этом случае точку (; ) называют точкой перегиба графика функции .
Необходимое условие точки перегиба. Если точка является точкой перегиба функции , то либо = 0, либо не существует.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Тогда точка является точкой перегиба функции , если существует окрестность точки , в которой либо
при и при ,
либо
при и при .
В этом случае принято говорить, что при переходе через точку вторая производная меняет знак.
Пример 2. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию .
Решение. Надлежит исследовать знак второй производной. Имеем:
, ;
нигде не обращается в ноль, но меняет знак в точке . Знаки указаны на рис. 2; — абсцисса точки перегиба, .
На функция вогнутая, на выпуклая.
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рис. 2 Рис. 3
Пример 3. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба функцию .
Решение. Имеем: ; .
.
Знаки указаны на числовой прямой (рис. 3).
Ответ. На интервале выпуклая вверх, на интервале
вогнутая вниз, — абсцисса точки перегиба и .