Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения.
Повторите раздел «Комбинаторика» (по лекциям ноябрь – декабрь 2019года)
Изучите материал темы.
Разберите примеры решения задач.
Сделайте краткий конспект темы.
Рассмотрим пример:
В корзине лежат клубки ниток зеленого и белого цвета. Бабушка просит внучку достать ей клубок ниток и, внучка наугад из корзины вынимает один клубок. Какое из следующих событий может произойти?
Варианты ответов:
1) вынутый предмет окажется клубком
2) вынутый предмет окажется красным клубком
3) вынутый предмет окажется зеленым клубком
4) вынутый предмет не окажется клубком
Ответ: первое и третье.
1. Теория вероятностей – раздел математики, изучающий случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Рассмотрим некоторые ключевые понятия, которые используются в теории вероятностей.
Определение.
Испытанием называется осуществление определенных действий.
Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате испытания.
Любой результат испытания называется исходом.
Достоверным называют событие, которое в результате испытания обязательно произойдёт.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.
События обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (А, В, С, D,…).
Рассматривая приведенный пример, мы можем сформулировать следующие заключения.
Процесс доставания предмета из коробки является испытанием.
Результат доставания предмета из корзины является событием.
Событие «вынутый предмет окажется клубком» является достоверным событием.
События «вынутый предмет не окажется клубком» или «вынутый предмет окажется красным клубком» являются невозможными событиями.
Событие «вынутый предмет окажется зеленым клубком» является вероятным событием.
А={вынутый предмет оказался клубком}.
В={вынутый предмет не оказался клубком.
С={вынутый предмет оказался зеленым клубком}.
D ={вынутый предмет оказался красным клубком}.
2. Определим еще несколько важных понятий теории вероятностей
Определение
Пространство элементарных событий Ω— множество всех различных исходов произвольного испытания.
Например, при броске одной игральной кости пространство элементарных событий Ω= {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w6}, где wi- выпадение i очков.
Если события не могут произойти одновременно в одном испытании, то события называются несовместными.
Например, при бросании монеты не могут одновременно выпасть «Орёл» и «Решка».
Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий.
Противоположное событие происходит тогда, когда исходное событие А не происходит.
Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой сверху.
Например:
A – сдал экзамен по математике;
Ᾱ – не сдал экзамен по математике.
Определение.
Полной группой событий называется такая система событий, что в результате испытания непременно произойдет одно и только одно из них.
Пример.
Монету подбросили дважды. Укажите все элементарные события полной группы событий.
Элементарными событиями являются:
- Выпало два «орла»
- Выпало две «решки»
- Выпал один «орел» и одна «рещка».
3. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, нужно подсчитать, как часто оно происходит.
Определение.
Число испытаний, в которых событие наступило, назовем абсолютной частотой и обозначим n. Общее число произведенных испытаний обозначим N.
Отношение абсолютной частоты к числу испытаний n/N называется относительной частотой события.
Относительная частота показывает, какая доля испытаний завершилась наступлением данного события. Эта относительная частота и определяет вероятность случайного события. Ее еще называют статистической вероятностью события.
Статистическая вероятность события рассчитывается опытным путем.
Пример.
Еще со времен Древнего Китая за 2238 лет до нашей эры на основании метрик демографы обнаружили, что на каждую тысячу новорожденных приходится 514 мальчиков.
Это означает, что Вероятность рождения мальчика составляет 0,514.
1. Классическое определение вероятности применяется для равновозможных событий.
К равновозможным (равновероятностным) относятся такие события, для которых нет никаких объективных оснований считать, что одно является более возможным, чем другие.
Например, при бросании игрального кубика события выпадения любого из очков равно возможны.
Рассмотрим произвольный эксперимент.
Пусть n- число всех исходов эксперимента, которые образуют полную группу попарно несовместных и равновозможных событий, m – число благоприятных событию А исходов. Тогда вероятностью события А называется число 
Согласно определению вероятности наименьшее значение вероятности принимает невозможное событие, так как оно не может наступить и для него m=0, значит и вероятность равна 0.
Наибольшее значение принимает достоверное событие. В силу того, что оно гарантированно произойдет, для него m=n, Р=m/n=n/n=1.
2. Суммой событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А, или событие В, или оба события одновременно.
Произведением событий А и В называется событие А•В, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
Например:
Пусть А - идет дождь, B - идет снег, тогда А + В – «идет снег или дождь»
При 3-х выстрелах по мишени события: А0 – «попаданий нет», А1 – «одно попадание», А2 – «два попадания», тогда А=А0+А1+А2 - «произошло не больше двух попаданий»
Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C⋅D - из урны вынули два белых шара
Пусть С - из урны вынули белый шар, D - из урны вынули белый шар, тогда C 
⋅- из урны вынули два шара: белый и не белый
Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Пример 1.
Известна история о том, как однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении насущного вопроса: какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?
Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.
Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различными способами (по 6 способов для первого, второго, пятого вариантов суммы, по 3 способа для третьего и четвертого вариантов, 1 способ для последнего варианта 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различными способами (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся друг к другу как 25:27, что и вызвало затруднения солдата.
Таким образом, чаще выпадает сумма 10.
Пример 2. В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу «основателей» теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль. В 1654 г. шевалье де Мере обратился к Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем, связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей.
Одна из задач была поставлена следующим образом: Игральная кость бросается четыре раза. Шевалье бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для шевалье? Ответ округлите до десятых.
Решение:
Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.
Среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не выпадет ни разу.
В 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, что чуть больше 0,5.
В обыденной жизни и в научных исследованиях постоянно приходится встречаться с такими ситуациями, когда интересующая нас величина может принимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств.
Сколько вызовов поступит на телефонную станцию в течение ближайшего часа?
Сколько уличных происшествий в течение предстоящих суток может произойти в каком-либо населенном пункте?
В подобных ситуациях приходится иметь дело со случайными величинами (СВ).
- Что такое случайная величина? (Переменная величина, значения которой зависят от случайного исхода некоторого испытания, причем каждое из этих значений реализуется с той или иной вероятностью).
- На какие две большие группы можно разделить СВ, и чем они отличаются друг от друга?
(Дискретные и непрерывные. Для ДСВ можно заранее указать те значения, которые может принять СВ, а для непрерывной заранее нельзя указать все значения).
Рассмотрим примеры.
1) Из одного и того же орудия при одном и том же прицеле производятся 4 выстрела. Что может быть случайной величиной? (Число попаданий)
- Что может быть непрерывной СВ? (Расстояние от орудия до места разрыва)
- Можно ли из данной непрерывной величины «сделать» дискретную?(Да, указав, например, расстояние в метрах).
2) Скорость молекулы газа не остается неизменной, а меняется от столкновений с другими молекулами. Ввиду того, что каждая молекула может либо столкнуться, либо не столкнуться с каждой другой молекулой газа, изменение ее скорости носит чисто случайный характер. Это ДСВ или непрерывная СВ? (Непрерывная).
3) Число метеоритов, падающих на Землю в течение года, достигающих ее поверхности, не постоянно, а подвержено значительным колебаниям в зависимости от целого ряда обстоятельств случайного характера.
Остановимся на ДСВ.
- Что нужно знать о СВ, чтобы иметь о ней исчерпывающие сведения? (Перечень значений, которые она может принимать; вероятности, с которыми СВ принимает то или иное значение).
- Что такое вероятность? (Отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов).
Установив соответствие между значениями СВ и их вероятностями, мы тем самым зададим закон распределения дискретной случайной величины (ЗР ДСВ).
Наиболее существенные особенности распределения в сжатой форме выражаются числовыми характеристиками.
- Какие вы знаете числовые характеристики для ДСВ?
Рассмотрим некоторые из них, решив задачи.
Задача 1. Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.
При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?
Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. 
Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с одинаковой вероятностью 1/8.
Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45
Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.