Коллизии осложняют использование хеш-таблиц, так как нарушают однозначность соответствия между хеш-кодами и данными. Тем не менее, существуют способы преодоления возникающих сложностей:
· метод цепочек (внешнее или открытое хеширование);
· метод открытой адресации (закрытое хеширование).
Метод цепочек. Элементы с одинаковым значением хеш-функции объединяются в связный список. Указатель на список хранится в советующей ячейке хештаблицы.
В позиции номер i хранится указатель на голову списка тех элементов, у которых хеш- значение ключа равно i; если таких элементов в множестве нет, в позиции i записан NULL.
§При коллизии элемент добавляется в начало списка.
§ Поиск и удаление элемента требуют просмотра всего списка
Рис. 38.1. Разрешение коллизий при помощи цепочек
Каждая ячейка массива является указателем на связный список (цепочку) пар ключ - значение, соответствующих одному и тому же хеш-значению ключа. Коллизии приводят к тому, что появляются цепочки длиной более одного элемента.
Операции поиска или удаления данных требуют просмотра всех элементов соответствующей ему цепочки, чтобы найти в ней элемент с заданным ключом. Для добавления данных нужно добавить элемент в конец или начало соответствующего списка, и, в случае если коэффициент заполнения станет слишком велик, увеличить размер массива и перестроить таблицу.
При предположении, что каждый элемент может попасть в любую позицию таблицы с равной вероятностью и независимо от того, куда попал любой другой элемент, среднее время работы операции поиска элемента составляет O(1+k), где k – коэффициент заполнения таблицы.
Метод открытой адресации. В отличие от хеширования с цепочками, при открытой адресации никаких списков нет, а все записи хранятся в самой хеш-таблице. Каждая ячейка таблицы содержит либо элемент динамического множества, либо NULL.
В этом случае, если ячейка с вычисленным индексом занята, то можно просто просматривать следующие записи таблицы по порядку до тех пор, пока не будет найден ключ K или пустая позиция в таблице. Для вычисления шага можно также применить формулу, которая и определит способ изменения шага. На рис. 38.2 разрешение коллизий осуществляется методом открытой адресации. Два значения претендуют на ключ 002, для одного из них находится первое свободное (еще незанятое) место в таблице.
Рис. 38.2. Разрешение коллизий при помощи открытой адресации
При любом методе разрешения коллизий необходимо ограничить длину поиска элемента. Если для поиска элемента необходимо более 3 – 4 сравнений, то эффективность использования такой хеш-таблицы пропадает и ее следует реструктуризировать (т.е. найти другую хеш-функцию), чтобы минимизировать количество сравнений для поиска элемента
Для успешной работы алгоритмов поиска, последовательность проб должна быть такой, чтобы все ячейки хеш-таблицы оказались просмотренными ровно по одному разу.
Удаление элементов в такой схеме несколько затруднено. Обычно поступают так: заводят логический флаг для каждой ячейки, помечающий, удален ли элемент в ней или нет. Тогда удаление элемента состоит в установке этого флага для соответствующей ячейки хеш-таблицы, но при этом необходимо модифицировать процедуру поиска существующего элемента так, чтобы она считала удаленные ячейки занятыми, а процедуру добавления – чтобы она их считала свободными и сбрасывала значение флага при добавлении.
До сих пор рассматривались способы поиска в таблице по ключам, позволяющим однозначно идентифицировать запись. Такие ключи называются первичными. Возможен вариант организации таблицы, при котором отдельный ключ не позволяет однозначно идентифицировать запись. Такая ситуация часто встречается в базах данных. Идентификация записи осуществляется по некоторой совокупности ключей. Ключи, не позволяющие однозначно идентифицировать запись в таблице, называются вторичными ключами. Даже при наличии первичного ключа, для поиска записи могут быть использованы вторичные.
Идея хеширования впервые была высказана Г.П. Ланом при создании внутреннего меморандума IBM в январе 1953 г. с предложением использовать для разрешения коллизий метод цепочек. Примерно в это же время другой сотрудник IBM, Жини Амдал, высказала идею использования открытой линейной адресации. В открытой печати хеширование впервые было описано Арнольдом Думи (1956 год), указавшим, что в качестве хеш-адреса удобно использовать остаток от деления на простое число. А. Думи описывал метод цепочек для разрешения коллизий, но не говорил об открытой адресации. Подход к хешированию, отличный от метода цепочек, был предложен А.П. Ершовым (1957 год), который разработал и описал метод линейной открытой адресации.
Алгоритмы хеширования
Существует несколько типов функций хеширования, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки и основана на представлении данных. Приведем обзор и анализ некоторых наиболее простых из применяемых на практике хеш-функций.
Таблица прямого доступа
Метод остатков от деления
Метод функции середины квадрата
Метод свертки
Открытое хеширование
Закрытое хеширование
Таблица прямого доступа
Простейшей организацией таблицы, обеспечивающей идеально быстрый поиск, является таблица прямого доступа. В такой таблице ключ является адресом записи в таблице или может быть преобразован в адрес, причем таким образом, что никакие два разных ключа не преобразуются в один и тот же адрес. При создании таблицы выделяется память для хранения всей таблицы и заполняется пустыми записями. Затем записи вносятся в таблицу – каждая на свое место, определяемое ее ключом. При поиске ключ используется как адрес и по этому адресу выбирается запись. Если выбранная запись пустая, то записи с таким ключом вообще нет в таблице. Таблицы прямого доступа очень эффективны в использовании, но, к сожалению, область их применения весьма ограничена.
Назовем пространством ключей множество всех теоретически возможных значений ключей записи. Назовем пространством записей множество тех ячеек памяти, которые выделяются для хранения таблицы. Таблицы прямого доступа применимы только для таких задач, в которых размер пространства записей может быть равен размеру пространства ключей. В большинстве реальных задач размер пространства записей много меньше, чем пространства ключей. Так, если в качестве ключа используется фамилия, то, даже ограничив длину ключа десятью символами кириллицы, получаем 3310 возможных значений ключей. Даже если ресурсы вычислительной системы и позволят выделить пространство записей такого размера, то значительная часть этого пространства будет заполнена пустыми записями, так как в каждом конкретном заполнении таблицы фактическое множество ключей не будет полностью покрывать пространство ключей.
В целях экономии памяти можно назначать размер пространства записей равным размеру фактического множества записей или превосходящим его незначительно. В этом случае необходимо иметь некоторую функцию, обеспечивающую отображение точки из пространства ключей в точку в пространстве записей, то есть, преобразование ключа в адрес записи: a=h(k), где a – адрес, k – ключ.
Идеальной хеш-функцией является инъективная функция, которая для любых двух неодинаковых ключей дает неодинаковые адреса.