Координаты точки на прямой и на плоскости.
Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
1. Координаты точки на прямой
Координаты точек на прямой вводят следующим образом. На прямой строят координатную ось, для чего:
а) на прямой выбирают начало координат — точку 
, по отношению к которой определяется положение остальных точек;
б) выбирают единицу длины для измерения расстояния рассматриваемой точки от начала координат;
в) выбирают положительное направление на прямой.
Определение 1. Координатой точки 
на координатной оси 
называется число 
, определяемое правилом:
1) если точка совпадает с точкой , то полагают 
;
2) если точка отличается от точки , то
а) равно длине отрезка 
, когда направление от точки к точке совпадает с положительным направлением оси , и
б) равно длине отрезка, взятой со знаком минус, когда направление от точки к точке противоположно направлению оси .
Пишут: 
.
Таким образом, каждой точке на координатной оси соответствует одно единственное число, и обратно, каждому числу соответствует одна единственная точка на этой прямой, то есть установлено взаимно-однозначное соответствие между точками прямой и действительными числами. Поэтому, когда говорят «дана точка», следует понимать, что дана ее координата. Если говорят «найти точку», следует понимать, что нужно найти координату искомой точки.
 |
Рис. 1
На рис. 1 изображены: ось и точки 
, 
, 
на ней.
2. Прямоугольная декартова система координат
Прямоугольную декартову систему координат вводят следующим образом:
а) выбирают две взаимно перпендикулярные оси координат — ось , или ось абсцисс, и ось 
, или ось ординат;
б) точку их пересечения — точку называют началом координат.
Определение 2. Координатами точки на плоскости называются числа и 
, определяемые правилом:
1) Из точки опускают перпендикуляры на оси и . Получают проекцию точки на оси — точку 
и проекцию точки на оси — точку 
.
2) Находят координату точки на оси , это число , и координату точки на оси , это число . Тогда числа и есть координаты точки , при чем — абсцисса, а — ордината точки . Пишут: 
.
 |  | ||
Рис.2 Рис.3.
На рис.2 изображены: прямоугольная декартова система координат и точка .
Оси координат делят всю плоскость на четыре части (четыре координатных угла, четверти, четыре квадранта), при этом
| квадрант | I | II | III | IV |
| знак абсциссы x | + | - | - | + |
| ординаты y | + | + | - | - |
Все точки оси имеют ординаты, равные нулю, точки оси — абсциссы, равные нулю.
Если дана пара чисел 
, то можно построить единственную точку, имеющую эти числа в указанном порядке своими координатами. Для этого на осях 
строят точки 
, имеющие числа 
своими координатами соответственно. Из точки восстанавливают перпендикуляр к оси , из точки восстанавливают перпендикуляр к оси . Точка пересечения этих перпендикуляров есть искомая точка 
. Таким образом, введено взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и парами чисел 
На рис. 2.3 изображены точки:
3. Расстояние между двумя точками
Даны две точки 
Если эти точки находятся на координатной оси 
то расстояние между ними 
вычисляется по формуле
Пример 1. Даны точки 
Расстояние между ними равно 
Если две точки 
даны на плоскости, то расстояние между ними вычисляется по формуле
. (1)
Пусть точки 
, есть проекции точки 
на оси координат, а 
— проекции точки 
(см. рис. 4). Тогда длина отрезка 
равна 
, а длина отрезка 
равна 
. При этом длина отрезка 
равна 
, а длина отрезка 
равна 
. По теореме Пифагора из треугольника 
получим 
.
 |
Рис. 4
Пример 2. Даны точки 
(см. рис. 3). Найти расстояние между точками а) 
; б) 
Решение:
а) 
б) 
Ответ: 
4. Деление отрезка в данном отношении
Пусть даны две точки и пусть делит отрезок 
в отношении 
, то есть делит так, что отношение длины отрезка 
к длине отрезка 
равно :
где 
— длина , 
— длина отрезка . Координаты точки деления вычисляются по формулам:
(2)
Замечание. Если точка делит отрезок пополам, то 
и
(3)
Пример 3. Даны две точки 
Найти координаты точки , которая делит отрезок
а) в отношении 2:3; б) пополам.
Решение. а) по условию 
, используя формулы (2), имеем:
Получена точка 
б) по условию , используя формулы (2.3), получим:
Получена точка 
Ответ: а) (2,6; 1,8), б) (2; 1,5).
Пример 4. Найти координаты точки , делящей отрезок 
в отношении 2:3. Координаты точек даны в примере 2.3.
Решение. , но в данном случае «первой» точкой отрезка является точка 
а «второй» — точка 
При использовании формулы (2.2) следует это учесть. Поэтому имеем
Получена точка 
Ответ: (1,4; 1,2).