Подготовка к восприятию нового материала

Тема: «Приращение аргумента, приращение функции».

Ход урока

Организационный момент

1) Взаимное приветствие преподавателя и обучающихся, проверка готовности обучающихся к уроку.

Обсуждение темы и целей урока. (Слайд 1 и 2.)

Подготовка к восприятию нового материала

(устная работа с целью актуализации знаний):

Как найти значение функции в данной точке?

Пример: (Слайд 3)

Найти значение функции f(x) = x² + 2x в точке x₀ = -3.

Решение: f(x₀) = f(-3) = (-3)²+ 2∙(-3) = 9 - 6 = 3

Ответ: f(-3) = 3

3) Итак, мы поработали устно и вспомнили некоторые теоретические сведения, которые нам будут нужны при изучении нового материала. А теперь мы выясним, что же такое приращение аргумента и приращение функции.

2. Изучение нового материала:

1) Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение. Например: как быстро изменяется температура, как быстро дорожают цены на билеты и так далее…

Давайте рассмотрим с Вами основные понятия которые относятся к приращению функции.

(работа с раздаточным материалом)

Например: Дан график функции у = 4 -х² (Слайд 4)

По графику найти значение функции в точке х₁= 1 и

х₂ = 2.

Разность х₂ – х₁ = 2 - 1 = 1; ∆x =1

f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 - 3 = -3

∆f = -3

2). В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения ∆f этой функции при заданных изменениях аргумента ∆х.

При сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х₀ со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х₀, удобно выражать разность f(x) - f(x₀) через разность х-х₀, пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение аргумента”.

Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀. Разность х - х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х₀ и обозначается ∆х. Таким образом, ∆х= х -х₀, откуда следует, что х = х₀+∆х. (Слайд 5)

Говорят также, что первоначальное значение аргумента х₀ получило приращение ∆х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х)– f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀, соответствующим приращению ∆х, и обозначается ∆f, т. е. по определению

∆f = f (х₀+∆х) – f(x_0), откуда f (х₀ +∆х) = f(x₀) +∆f.

Обратите внимание: при фиксированном значении х₀ приращение ∆f есть функция от ∆х.

2) Что такое приращение аргумента?

Что такое приращение функции? (Слайд6)

• Определение.

Приращением аргумента функции называется величина, равная разности между конечным и начальным значением аргумента: ∆ x =x-х₀

• Определение.

Приращением функции называется величина, равная разности между конечным и начальным значением функции ∆f =f(x) - f(x₀) = f(х₀ + х)– f(x₀).

Пример 1. Найти приращение функции y=x³ при переходе от х₀=1,2 к точке х=2,5 (Слайд 7)

Решение: ∆ x=2,5-1,2=1,3, ∆f=2,5²-1,2²=6,25-1,44= 4,81

Ответ: 1,3; 4,81

Пример 2. Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х₀, если f(x)= x², если х₀= 2, х=1,9. (Слайд 8)

Решение: ∆ x=1,9-2=-0,1, ∆f=1,9²-2²=3,61-4= -0,39

Ответ: -0,1; -0,39

Вывод: Приращение функции может быть как положительным так и отрицательным.

Теперь выясним геометрический смысл приращения аргумента, приращения функции. (Слайд 9.)

Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять, рассмотрев рисунок. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + b. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х₀; f(x₀) и (х; f(x)), равен tga. ∆ABC – прямоугольный.

или k = tgα =

Пример 3. Найти угловой коэффициент секущей к графику функции f(x) = , проходящей через точки с данными абсциссами х₁ и х₂. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью Ох, если f(x) = x²; x₁ = 0; x₂ = 1 (Слайд 10)

Решение: tgα =

Δx = x – x₀; Δf = f(x) - f(x₀);

Δx = 1 – 0 = 1; Δf = f(1) - f(0) = · 1² - · 0² =

k = tgα = > 0, значит α – острый

Ответ: tgα = ; α - острый

5) Итак, мы выяснили что такое приращение аргумента и приращение функции и в чём состоит их геометрический смысл. Теперь мы научимся применять данные определения при решении задач.