ТЕМА 1.3 «ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТОВАРООБОРАЧИВАЕМОСТЬ»
Понятия об абсолютных и относительных величинах и процентах. Их назначение в хозяйственной деятельности.
Виды процентных вычислений.
Понятие о средних величинах.
Товарооборачиваемость и способы ее вычисления.
Понятия об абсолютных и относительных величинах и процентах. Их назначение в хозяйственной деятельности.
В процессе хозяйственной деятельности торговые предприятия и организации используют абсолютные и относительные величины.
Абсолютной называется величина, взятая вне сравнения с какой-нибудь другой величиной и выраженная в единицах измерения (р., шт., кг, м и т.д.)^ Например, выручка магазина за день составила 2,365 млн. р., за месяц продано 235 платьев, плановое задание фабрики за квартал составляет 47,28 млн. р.
При определении качественных показателей возникает необходимость вычисления отношения между различными числами для их сравнения.
Величина такого отношения называется относительным числом, или относительной величиной. Эти величины принято выражать в сотых долях числа — процентах (%).
Для сравнения двух или нескольких абсолютных величин при необходимости сопоставления фактических величин с плановыми используются относительные величины. Например, выполнение плана по товарообороту в целом, по товарным группам или товарному ассортименту, подсчет торговой скидки или наценки, снижение розничных цен или уровня издержек обращения.
С понятием «проценты» повседневно встречаются все работники торговли, в том числе продавец и контролер-кассир, которые должны себе четко представлять, что это такое и как ими можно оперировать. Процентирование применяется также при исчислении банковских ссуд, налога с оборота, подоходного налога, сумм, причитающихся клиентам за хранение денег в кредитных учреждениях, и во многих других случаях.
При необходимости более точных вычислений применяется промилле, т.е. тысячная доля числа, обозначаемая знаком %о.
Как было сказано, «процент — это сотая доля числа. Чтобы вычислить 1 % от любого числа, нужно данное число разделить на 100, т.е. в делимом следует отделить справа налево две цифры.
Пример 4.1. Найдем 1 % и 1 %0 от числа 825.
Решение. При делении числа 825 на 100 получим 8,25, что и составляет 1 % от 825.
Для того чтобы найти 1 %о от этого же числа, нужно 825 разделить на 1000. Получим 0,825, что и составляет 1 %о от 825.
Если необходимо найти несколько процентов от заданного числа, то нужно найти величину 1 % и умножить ее на количество процентов.
Пример 4.2. Найдем 7 % от числа 500.
Решение. Сначала определим 1 % от данного числа: 500: 100 = 5; затем полученное число умножим на 7: 5 х 7 = 35. Следовательно, 7 % от числа 500 составляет 35.
Проценты и промилле можно выражать в виде десятичных дробей, например:
3,5 % = 0,035; 18 % = 0,18; 7,9 % = 0,079;
8 %о = 0,008; 75 %о = 0,075.
Существует и обратный процесс. Для того чтобы десятичную дробь выразить в процентах, нужно перенести запятую на два знака вправо, т.е. умножить дробь на 100. Например:
0,06 = 6%; 0,4025 = 40,25%.
К процентным величинам относятся начальное число, процентная такса и процентная сумма.
Начальное число является базисом процентных вычислений, так как от него исчисляют проценты, и принимается за 100%.
Процентная такса содержит то или иное количество процентов, т. е. сотых долей числа.
Процентная сумма — это число, выражающее сумму одного или нескольких процентов, исчисленных от начального числа.
Кроме перечисленных трех основных величин в процентных вычислениях применяются еще две величины: наращенное (увеличенное) и уменьшенное числа.
Число, состоящее из начального числа и процентной суммы, называется наращенным.
Разность между начальным числом и процентной суммой называют уменьшенным числом.
Виды процентных вычислений.
Проценты «со 100»
Вычисления, связанные с начальным числом, называются процентами «со 100».
Нахождение процентной суммы. Зная начальное число и процентную таксу, всегда можно рассчитать процентную сумму.
Чтобы определить процентную сумму П, достаточно начальное число умножить на процентную таксу и разделить на 100 %:
П = Чн х Т: 100%,
где Чн — начальное число; Т — процентная такса.
Пример 4.3. Магазину установлен план товарооборота на месяц в сумме 620 млн р. Магазин перевыполнил план на 1,5 %. Необходимо определить сумму перевыполнения плана товарооборота.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Чн = 620 млн р.,
Т=1,5%
Найти: П =?
Подставим в приведенную формулу исходные данные:
П = (620 млн р. х 1,5 %): 100 % = 9,3 млн р.
При решении подобных примеров следует помнить, что процентная сумма и процентная такса — величины равнозначные.
Нахождение начального числа. Зная процентную сумму и процентную таксу, всегда можно определить начальное число.
Чтобы найти начальное число, достаточно процентную сумму разделить на процентную таксу и умножить на 100 %:
ЧН = П: Т х 100%.
Пример 4.4. За месяц было продано товара на 2,8 млн р., что составило 103 % от плана. Необходимо определить сумму выручки, установленную месячным планом.
Решение. Известно, что 2,8 млн р. составляет 103 %, требуется определить, чему будут равны 100 %.
Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Т= 103%,
П = 2,8 млн р.
Найти: Чн =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие значения:
Чн = (2,8 млн р.: 103 %) х 100 % = 2,72 млн р.
Нахождение процентной таксы. Зная процентную сумму и начальное число, всегда можно вычислить процентную таксу.
Чтобы определить процентную таксу, достаточно процентную сумму разделить на начальное число и умножить на 100 %:
Т = П:Чнх 100%.
Пример 4.5. Месячный план товарооборота магазина установлен в сумме 1,6 млн р. Магазин выполнил план на сумму 1,65 млн р. Необходимо определить выполнение плана товарооборота в процентах.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Чн = 1,6 млн р.,
П = 1,65 млн р.
Найти: Т =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие значения:
Т= (1,65 млн р.: 1,6 млн р.) х 100%= 103,1%.
Проценты «на 100» и «во 100»
Вычисления, связанные с наращенным числом, называются процентами «на 100», с уменьшенным числом — процентами «во 100».
В процентных вычислениях «со 100» фигурировали три процентные величины: начальное число, процентная сумма и процентная такса. По двум известным мы находили одну из этих величин. В процентных вычислениях «на 100» и «во 100» присутствует дополнительная величина — увеличенное (наращенное) или уменьшенное число. В таких процентных вычислениях существует четыре типа решения задач: нахождение начального числа по процентной таксе и наращенному (или уменьшенному) числу; процентной суммы по процентной таксе и наращенному (или уменьшенному) числу; процентной таксы по наращенному (или уменьшенному) числу и процентной сумме; наращенного (или уменьшенного) числа по процентной таксе и процентной сумме.
Нахождение начального числа по процентной таксе и наращенному числу. Чтобы определить начальное число по наращенному числу и процентной таксе, нужно наращенное число разделить на сумму 100 % и процентной таксы, а полученное частное умножить на 100 %:
Чн = НЧ: (100 + Т) х 100%,
где Нч — наращенное число.
Пример 4.6. Определим план товарооборота, если известно, что магазин продал товаров на сумму 10,8 млн р., перевыполнив план товарооборота на 1,7%.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Нч = 10,8 млн р.,
Т= 1,7%
Найти: Чн =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие числа:
Чн= 10,8 млн р.: (100 % + 1,7 %) х 100 % = 10,6 млн р.
Нахождение процентной суммы по процентной таксе и наращенному числу. Чтобы определить процентную сумму по процентной таксе и наращенному числу, нужно наращенное число разделить на сумму 100 % и процентной таксы, а полученное частное умножить на процентную таксу:
П = Нч: (100% + Т) х Т.
Пример 4.7. Используя условие примера 4.6, определим перевыполнение плана (процентную сумму).
Решение. П= 10,8 млн р.: (100% + 1,7%) х 1,7% = 0,18 млн р.
Нахождение процентной таксы по наращенному числу и процентной сумме. Чтобы определить процентную таксу по наращенному числу и процентной сумме, нужно процентную сумму разделить на разность наращенного числа и процентной суммы, а полученное частное умножить на 100 %:
Т = П: (Нч – П) х 100 %.
Пример 4.8. Фактический товарооборот промтоварного магазина за месяц составил 2,1 млн р. За этот период было продано товаров на 0,7 млн р. больше, чем по плану. Необходимо определить процент перевыполнения плана магазина за месяц.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Нч = 2,1 млн р.,
П = 0,7 млн р.
Найти: Т =?
Подставим в приведенную формулу исходные данные:
Т = 0,7 млн р.: (2,1 млн р. – 0,7 млн р.) х 100 % = 50 %.
Нахождение наращенного числа по процентной таксе и процентной сумме. Чтобы определить наращенное число по процентной таксе и процентной сумме, нужно процентную сумму разделить на процентную таксу, а полученное частное умножить на сумму процентной таксы и 100%:
НЧ = П: Тх(Т+ 100%).
Пример 4.9. Сумма наценки на стоимость товара составила 520 р., что составляет 4 %. Нужно определить стоимость товара после наценки. Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: П = 520 р.,
Т = 4%
Найти: Нч =?
Подставим в приведенную формулу исходные данные:
Нч = 520р.: 4% х (4%+ 100%)= 13520 р.
Нахождение начального числа по процентной таксе и уменьшенному числу. Чтобы определить начальное число по уменьшенному числу и процентной таксе, нужно уменьшенное число разделить на разность 100 % и процентной таксы, а полученное частное умножить на 100 %:
Чн = УЧ: (100-Т) х 100%,
где Уч — уменьшенное число.
Пример 4.10. В бакалейном отделе было продано за месяц товара на сумму 648 тыс. р., причем план был недовыполнен на 2 %. Необходимо определить план товарооборота отдела.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Уч = 648тыс. р.,
Т = 2%
Найти: Чн =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие числа:
Чн = 648тыс. р.: (100% - 2%) х 100 % = 661,2 тыс. р.
Нахождение процентной суммы по процентной таксе и уменьшенному числу. Чтобы определить процентную сумму по процентной таксе и уменьшенному числу, нужно уменьшенное число разделить на разность 100 % и процентной таксы, а полученное частное умножить на процентную таксу:
П = УЧ: (100% -Т) х Т.
Пример 4.11. Используя условие примера 4.10, определим недовыполнение плана товарооборота (процентную сумму).
Решение. П = 648 тыс. р.: (100 % - 2 %) х2 % = 13,2 тыс. р.
Нахождение процентной таксы по уменьшенному числу и процентной сумме. Чтобы определить процентную таксу по уменьшенному числу и процентной сумме, нужно процентную сумму разделить на сумму уменьшенного числа и процентной суммы, а полученное частное умножить на 100%:
Т = П: (Уч + П) х 100%.
Пример 4.12. Фактический товарооборот отдела за месяц составил 835 тыс. р., при этом было продано товара на 15 тыс. р. меньше, чем запланировано. Необходимо определить процент недовыполнения плана отдела за месяц.
Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: Уч = 835 тыс. р.,
П = 15 тыс. р.
Найти: Т =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие числа:
Т= 15 тыс. р.: (835 тыс. р. + 15 тыс. р.) х 100% =1,8%.
Нахождение уменьшенного числа по процентной таксе и процентной сумме. Чтобы определить уменьшенное число по процентной таксе и процентной сумме, нужно процентную сумму разделить на процентную таксу, а полученное частное умножить на разность 100% и процентной таксы:
Уч = П: Т х (100% -Т).
Пример 4.13. Сумма уценки стоимости товара составила 118 р., что составляет 8,2 %. Нужно определить стоимость товара после уценки. Решение. Запишем сокращенное условие задачи:
Дано: П= 118 р.,
Т= 8,2%
Найти: Уч =?
Подставим в приведенную формулу соответствующие числа:
Уч= 118 р.: 8,2 % х (100 % - 8,2 %) = 1321 р. 02 к.
Понятие о средних величинах
Работнику торговли и общественного питания часто приходится встречаться с понятием «средняя величина», когда общая особенность всех величин данного вида заменяет индивидуальную. Величина, которая дает общую количественную характеристику нескольким однородным показателям, называется средней величиной (например, средняя дневная выручка кассира, средняя выработка продавца или группы продавцов за указанный промежуток времени, средняя цена и т.д.).
В хозяйственных вычислениях применяются следующие виды средних величин: средняя арифметическая простая, средняя арифметическая взвешенная и средняя хронологическая.
Средней арифметической простой называется величина, которая определяется по одному ряду чисел. Чтобы определить среднюю арифметическую простую нескольких чисел, нужно сумму данных величин разделить на их количество.
Пример 4.22. Определим среднюю месячную зарплату контролера-кассира в I квартале, если заработная плата составила: в январе — 1560 р.; в феврале — 1490 р., в марте — 1720 р.
Решение. В данном случае мы имеем один ряд чисел, среди которых нужно определить среднее значение. Для этого нужно сложить все эти числа и полученную сумму разделить на их количество:
(1560 р. + 1490 р. + 1720 р.): 3 = 1590 р.
Иногда возникает необходимость определить среднюю величину не по одному, а по двум рядам. В таких случаях определяют среднюю арифметическую взвешенную — величину, которая определяется по двум рядам чисел, один из которых является рядом показателей, другой — рядом весов. Рядом показателей всегда считается тот ряд, величину которого нужно вычислить, другой ряд будет рядом весов, который показывает, сколько раз повторяется каждый показатель.
Чтобы определить среднюю арифметическую взвешенную, нужно сумму произведений каждой величины на ее вес разделить на общую сумму весов.
Пример 4.23. Определим средний процент выполнения плана товарооборота гастрономического отдела по следующим показателям.
| № п/п | Квартал | План, млн р. | Фактическое выполнение плана, % | Среднее значение выполнения плана, % |
| I | 1,8 | 101,2 | ||
| II | 2,2 | 103,5 | ||
| III | 1,9 | 100,8 | ||
| IV | 2,8 | 105,7 |
Решение. Среднее значение выполнения плана товарооборота (ряд показателей) необходимо вычислять по средней арифметической взвешенной, так как имеются два ряда чисел: план товарооборота и фактическое его выполнение (ряды весов):
(101,2 х 1,8 + 103,5 х 2,2 + 100,8 х 1,9 + 105,7 х 2,8):: (1,8 + 2,2 + 1,9 + 2,8) = 103,1%
Средняя хронологическая — величина, применяемая в торговле только при определении средних товарных запасов за определенный период времени. Товарные запасы — это предметы потребления, находящиеся в сфере обращения. Постоянное наличие товарных запасов является необходимым условием нормальной работы торговых предприятий. Их размер должен обеспечивать бесперебойную работу предприятий и широкий ассортимент товаров.
Чтобы вычислить среднюю хронологическую нескольких величин, нужно их сложить, поделив начальное и конечное число на 2, а полученную сумму разделить на количество величин, уменьшенное на 1.
Пример 4.24. Товарные остатки магазина за квартал составили: на 1 января — 276 тыс. р., 1 февраля — 187 тыс. р., 1 марта — 311 тыс. р. Необходимо определить среднюю сумму остатка товаров в магазине.
Решение. (276 тыс. р.: 2 + 187 тыс. р. + 311 тыс. р.: 2): (3 – 1) = = 240,25 тыс. р.