Кинематика. Основные формулы
Прежде всего, следует заметить, что речь будет идти о геометрической точке, то есть области пространства, не имеющей размеров. Именно для этого абстрактного образа (модели) и справедливы все представленные ниже определения и формулы. Однако для краткости я в дальнейшем буду часто говорить о движении тела, объекта или частицы. Это я делаю только для того, чтобы Вам легче было читать. Но всегда помните, что речь идет о геометрической точке. Подробное изложение теории вы найдете в электронной книге.
Радиус-вектор точки - это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой. Радиус-вектор обозначается, как правило, буквой r. К сожалению некоторые авторы обозначают его буквой s. Настоятельно советую не использовать обозначение s для радиус-вектора. Дело в том, что подавляющее большинство авторов (как отечественных, так и зарубежных) используют букву s для обозначения пути, который является скаляром и к радиус-вектору, как правило, отношения не имеет. Если вы будете обозначать радиус-вектор как s, то легко можете запутаться. Еще раз, мы, как и все нормальные люди, будем использовать следующие обозначения: r - радиус-вектор точки, s - путь, пройденный точкой.
Вектор перемещения (часто говорят просто – перемещение) – это вектор, начало которого совпадает с той точкой траектории, где было тело, когда мы начали изучать данное движение, а конец этого вектора совпадает с той точкой траектории, где мы это изучение закончили. Будем обозначать этот вектор как Δ r. Использование символа Δ очевидно: Δ r – это разность между радиус-вектором r конечной точки изучаемого отрезка траектории и радиус-вектором r 0 точки начала этого отрезка (рис. 1), то есть Δ r = r − r 0.
Траектория - это линия, вдоль которой движется тело.
Путь - это сумма длин всех участков траектории, последовательно проходимых телом при движения. Обозначается либо ΔS, если речь идет об участке траектории, либо S, если речь идет о всей траектории наблюдаемого движения. Иногда (редко) путь обозначают и другой буквой, например, L (только не обозначайте его как r, мы уже об этом говорили). Запомните! Путь - это положительный скаляр! Путь в процессе движения может только увеличиваться.
Средняя скорость перемещения v ср - это вектор, определяемый выражением
v ср = Δ r /Δt.
Мгновенная скорость перемещения v - это вектор, определяемый выражением
v = d r /dt.
Средняя скорость пути vср - это скаляр, определяемый выражением
vср = Δs/Δt.
Часто встречаются и другие обозначения, например, <v>.
Мгновенная скорость пути v - это скаляр, определяемый выражением
v = ds/dt.
Модуль мгновенной скорости перемещения и мгновенная скорость пути - это одно и то же, поскольку dr = ds.
Среднее ускорение a ср - это вектор, определяемый выражением
a ср = Δ v /Δt.
Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор, определяемый выражением
a =d v /dt.
Касательное (тангенциальное) ускорение a τ (нижний индекс - это греческая строчная буква тау) - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на касательную ось.
Нормальное (центростремительное) ускорение a n - это вектор, являющийся векторной проекцией мгновенного ускорения на ось нормали.
Модуль касательного ускорения
| a τ | = dv/dt,
то есть это - производная модуля мгновенной скорости по времени.
Модуль нормального ускорения
| a n | = v2/r,
где r - величина радиуса кривизны траектории в точке нахождения тела.
Важно! Хочу обратить внимание на следующее. Не путайтесь с обозначениями, касающимися касательного и нормального ускорений! Дело в том, что в литературе по этому поводу традиционно наблюдается полная чехарда.
Запомните!
a τ - это вектор касательного ускорения,
a n - это вектор нормального ускорения.
a τ и a n являются векторными проекциями полного ускорения а на касательную ось и ось нормали соответственно,
aτ - это проекция (скалярная!) касательного ускорения на касательную ось,
an - это проекция (скалярная!) нормального ускорения на ось нормали,
| a τ |- это модуль вектора касательного ускорения,
| a n | - это модуль вектора нормального ускорения.
Особенно не удивляйтесь, если, читая в литературе о криволинейном (в частности, вращательном) движении, Вы обнаружите, что автор под aτ понимает и вектор, и его проекцию, и его модуль. То же самое относится и к an. Все, как говорится, «в одном флаконе». И такое, к сожалению, сплошь и рядом. Даже учебники для высшей школы не являются исключением, во многих из них (поверьте - в большинстве!) царит полная неразбериха по этому поводу.
Вот так, не зная азов векторной алгебры или пренебрегая ими, очень легко полностью запутаться при изучении и анализе физических процессов. Поэтому знание векторной алгебры является наиглавнейшим условием успеха в изучении механики. И не только механики. В дальнейшем, при изучении других разделов физики, Вы неоднократно в этом убедитесь.
Мгновенная угловая скорость (или просто, угловая скорость) ω - это вектор, определяемый выражением
ω = d φ /dt,
где d φ - бесконечно малое изменение угловой координаты (d φ - вектор!).
Мгновенное угловое ускорение (или просто, угловое ускорение) ε - это вектор, определяемый выражением
ε = d ω /dt.
Связь между v, ω и r:
v = ω × r.
Связь между v, ω и r:
v = ω · r.
Связь между | a τ |, ε и r:
| a τ | = ε · r.
Теперь перейдем к кинематическим уравнениям конкретных видов движения. Эти уравнения надо выучить наизусть.
Кинематическое уравнение равномерного и прямолинейного движения имеет вид:
r = r 0 + v t,
где r - радиус-вектор объекта в момент времени t, r 0 - то же в начальный момент времени t0 (в момент начала наблюдений).
Кинематическое уравнение движения с постоянным ускорением имеет вид:
r = r 0 + v 0 t + a t2/2, где v 0 скорость объекта в момент t0 .
Уравнение для скорости тела при движении с постоянным ускорением имеет вид:
v = v 0 + a t.
Кинематическое уравнение равномерного движения по окружности в полярных координатах имеет вид:
φ = φ0 + ωz t,
где φ - угловая координата тела в данный момент времени, φ0 - угловая координата тела в момент начала наблюдения (в начальный момент времени), ωz - проекция угловой скорости ω на ось Z (обычно эта ось выбирается перпендикулярно плоскости вращения).
Кинематическое уравнение движения по окружности с постоянным ускорением в полярных координатах имеет вид:
φ = φ0 + ω0z t + εz t2/2.
Кинематическое уравнение гармонических колебаний вдоль оси X имеет вид:
х = А Cos (ω t + φ0),
где A - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ0 - начальная фаза колебаний.
Проекция скорости точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
vx = − ω · A · Sin (ω t + φ0).
Проекция ускорения точки, колеблющейся вдоль оси X, на эту ось равна:
аx = − ω2 · A · Cos (ω t + φ0).
Связь между циклической частотой ω, обычной частотой ƒ и периодом колебаний T:
ω = 2 πƒ = 2 π/T (π = 3,14 - число пи).
Математический маятник с длиной нити имеет период колебаний T, определяемый выражением:
.
Связь между абсолютной v абс, относительной v отн и переносной v пер скоростями:
v абс = v отн + v пер.
Вот, пожалуй, и все определения и формулы, которые могут понадобиться при решении задач на кинематику. Приведенная информация носит только справочный характер и не может заменить электронную книгу, где доступно, подробно и, надеюсь, увлекательно изложена теория этого раздела механики.