- объём продаж товара А, ед. (или спрос);- средний доход потребителя, тыс. руб.;- цена товара А, руб.;- цена товара Б, руб.;
1. Вычислите описательные статистики. Проверьте характер распределения признаков. При необходимости удалите аномальные наблюдения;
2. Постройте уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов, дайте экономическую интерпретацию полученных результатов. Рассчитайте интервальные оценки его коэффициентов и дайте им экономическую интерпретацию;
3. Дайте сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних коэффициентов эластичности;
4. Оцените статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставьте результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии;
5. Оцените качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.
6. Постройте матрицу парных коэффициентов корреляции. Сделайте вывод о силе связи результата и факторов. Определите критическое значение rкр для выборочных парных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Йетса и проверьте значимость каждого из коэффициентов на уровне значимости a=0,05.
7. Выберите лучшую факторную переменную из рассмотренных и обоснуйте свой выбор.
Выясните, является ли товар А высокоэластичным или низкоэластичным? Ценным? Традиционным? Взаимодополняющим или взаимозамещающим по отношению к товару Б?
Решение:
1. Вычислим описательные статистики
| s | d | p | q | |
| Среднее | 0,761 | 0,630 | 1,351 | 0,963 |
| Стандартная ошибка | 0,053 | 0,056 | 0,081 | 0,055 |
| Медиана | 0,77 | 0,54 | 1,31 | 1,03 |
| Мода | 0,93 | 0,41 | #Н/Д | 1,33 |
| Стандартное отклонение | 0,301 | 0,315 | 0,457 | 0,311 |
| Дисперсия выборки | 0,091 | 0,099 | 0,209 | 0,097 |
| Эксцесс | -0,517 | -0,061 | -0,747 | -0,598 |
| Асимметричность | 0,247 | 0,893 | -0,041 | -0,638 |
| Интервал | 1,19 | 1,13 | 1,78 | 1,05 |
| Минимум | 0,31 | 0,27 | 0,3 | 0,3 |
| Максимум | 1,5 | 1,4 | 2,08 | 1,35 |
| Сумма | 24,35 | 20,17 | 43,22 | 30,81 |
| Счет | ||||
| Наибольший(1) | 1,5 | 1,4 | 2,08 | 1,35 |
| Наименьший(1) | 0,31 | 0,27 | 0,3 | 0,3 |
| Уровень надежности(95,0%) | 0,109 | 0,114 | 0,165 | 0,112 |
| Коэффициент вариации | 0,396 | 0,499 | 0,339 | 0,323 |
Коэффициент вариации факторных переменных d и р больше 0,33 значит по данным признакам совокупность не однородна. Коэффициент вариации факторных переменных q меньше 0,33 значит по данным признакам совокупность однородна.
Закон нормального распределения признаков говорит о том, что мода и медиана очень близки друг к другу, такое распределение считается нормальным.
Значения эксцесса отличны от 0, что не удовлетворяет условиям нормального распределения. Но в целях изучения мы проведем исследование.
Значения асимметрии считаются нормальными если они близки к 0. Наиболее близок к этому значению р - цена товара А.
2. Построим уравнение множественной регрессии в линейной форме с полным набором факторов
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | |
| s-пересечение | 1,221 | 0,270 | 4,521 |
| Переменная d | 0,201 | 0,172 | 1,169 |
| Переменная p | -0,219 | 0,114 | -1,925 |
| Переменная q | -0,303 | 0,185 | -1,633 |
Уравнение регрессии имеет вид:
у = 1,221 + 0,201d - 0,219p - 0,303q
С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж возрастает на 0,201 руб. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,219 руб. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшается на 0,303 руб.
Рассчитаем интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.
| Коэффициенты | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| s-пересечение | 1,221 | 0,668 | 1,775 |
| Переменная d | 0,201 | -0,151 | 0,552 |
| Переменная p | -0,219 | -0,451 | 0,014 |
| Переменная q | -0,303 | -0,683 | 0,077 |
С увеличением дохода потребителей на 1 тыс. руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,151руб. или увеличится как максимум на 0,552. С увеличением цены товара А на 1 руб. объем продаж уменьшается максимум на 0,451руб. или увеличится как максимум на 0,014. С увеличением цены товара В на 1 руб. объем продаж уменьшится максимум на 0,683руб или увеличится как максимум на 0,077руб.
В границы доверительных интервалов всех переменных попадает 0, это свидетельствует о статистической незначимости и ненадежности рассматриваемых коэффициентов.
3. Вычислим коэффициент эластичности:
То есть с увеличением дохода на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж увеличивается на 0,166% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар А на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,389% от своего среднего уровня, а с увеличением цены на товар В на 1% от своего среднего уровня, средний объем продаж уменьшается на 0,383% от своего среднего уровня.
Наиболее сильное влияние на объем продаж оказывает цена товара А, наименьшее доход потребителя.
3. Оценим статистическую значимость уравнения регрессии и его параметров с помощью критериев Фишера и Стьюдента, сопоставим результаты t-статистик с интервальными оценками коэффициентов регрессии.
Находим наблюдаемое и фактическое значение критерия Фишератабл(α=0,05)=4,12факт = 11,988табл<Fнабл то уравнение в целом статистически значимо и надежно
Проверим значимость параметров с помощью критерия Стьюдента
| Коэффициенты | t-статистика | |
| s-пересечение | 1,221 | 4,521 |
| Переменная d | 0,201 | 1,169 |
| Переменная p | -0,219 | -1,925 |
| Переменная q | -0,303 | -1,633 |
| Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента | 2,0423 |
Найдем tкрит(α=0,05; f=32)=2,0423крит>tнабл для переменных d, р, q значит эти коэффициенты регрессии незначимы и ненадежны.
. Вычислим среднюю ошибку аппроксимации:
В среднем расчётные значения отличаются от фактических на 15.2%, что превышает допустимые пределы 8%-10%, следовательно, с этой точки зрения можно считать выбор уравнения неудачным.
5. Построим матрицу парных коэффициентов корреляции.
| s | d | p | q | |
| s | ||||
| d | 0,624 | |||
| p | -0,663 | -0,599 | ||
| q | -0,676 | -0,691 | 0,660 |
Проверим значимость коэффициентов корреляции на уровне значимости α=0,05.
Рассчитаем фактические значения критериев по формуле:
Табличное(критическое) значение статистики Стьюдента, определенное на уровне значимости α=0,05 при числе степеней свободы f=32равно:крит(α=0,05; f=32)= 2,0423
| s | d | p | q | |
| s | ||||
| d | 4,377 | |||
| p | 4,857 | 4,092 | ||
| q | 5,028 | 5,242 | 4,809 |
По критерию t все коэффициенты значимы.
По матрице коэффициентов видим, что наибольшее влияние на объем продаж оказывает цена товара Б, наименьшее доход потребителя.
Множественный коэффициент корреляции равен R = 0,75, то есть связь между спросом (у) и включенными в модель факторами (х) высокая.
Коэффициент детерминации 
значит вариация спроса s на 56,2% объясняется вариацией включенных в модель факторов и на 43,8% зависит от других факторов
6. Рассчитаем значения коэффициентов детерминации R2 объясняющих переменных по всем остальным переменным, то есть в качестве зависимой переменной выбираем последовательно все переменные: s, d, p, q все остальные объясняющие переменные в качестве независимых.
| Зависимая переменная | Независимая переменные | R2 | R |
| s | d, p, q | 0,562 | 0,75 |
| d | s, p, q | 0,537 | 0,733 |
| p | d, s, q, | 0,536 | 0,732 |
| q | d, p, s, | 0,61 | 0,781 |
Анализ оценок детерминации показал наличие тесной связи между объясняющей переменной q и всеми остальными признаками.
Лучшая факторная переменная q так как от нее в большей степени зависит изменение s.
Эластичность по модулю больше 1 значит товар высокоэластичный.
Товары А и Б могут являться взаимодополняемыми, но не являются взаимозаменяемыми так как коэффициенты эластичности изменяются однонаправлено, так как все коэффициенты регрессии показывают, что связь между ценой товара А и остальными факторами сильная, то товар традиционен, и так как коэффициенты эластичности по модулю меньше 1 значит товар не ценен.