Построение разностных схем
Литература по МКР и МКЭ
1. Самарский А.А. «Введение в численные методы»;
2. Бояршинов М.Г. «Численные методы» 1, 2,4 части;
3. Бояршинов М.Г. «Вычислительная математика»;
4. Самарский А.А., Гулин А.В. «Численные методы»;
5. Зенкевич «Метод Конечных элементов в технике»;
6. Зенкевич, Мроган «Конечные элементы и аппроксимация»;
7. Бате К.-Ю. «Методы конечных элементов»;
8. Сегерлинд Л.Д. «Применение метода конечных элементов»;
9. Образцов, Савельев, Хазанов «Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов».
Понятие разностной схемы на примере общего вида краевой задачи.
Пусть дана краевая задача:
Совокупность разностных уравнений, построенных на сетке и аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение на 
и краевые условия на 
, называется разностной схемой (семейство параметра h).
Задаётся сетка 
и на ней задаются к.р. 
, 
, 
, 
и 
:
Число уравнений равно числу узлов сетки.
Сходимость разностной схемы.
Разностная схема сходится, если норма 
. При этом говорят, что к.р. схема сходится со скоростью 
, если 
. Р.с. обладает -м порядком аппроксимации в случае, когда
,
.
К.р.с. называется устойчивой, если малым изменениям входных данных соответствует малое изменение решения.
Итак, если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную краевую задачу с порядком , то она сходится, причём скорость сходимости равна порядку аппроксимации.
Рассмотрим построение разностной схемы на примере задачи о растяжении однородного стержня продольными переменными усилиями.
Запишем принцип возможных перемещений:
.
Для одномерно стержня при растяжении имеем:
, 
, 
– интенсивность нагрузки и 
. Тогда
.
Для однородного стержня получим
– уравнение равновесия в перемещениях (Ламе).
Пусть стержень закреплён с левого края, а правый – свободный. Тогда граничные условия будут иметь вид:
Второе уравнение выходит из статических граничных условий вида: 
.
Строим сетку: 
.
На каждом отрезке аппроксимируем производные и получаем к.р.с. вида
В матричном виде 
.
Требования к РС. Однородность и консервативность.
Однородной р.с. называется р.с., вид которой не зависит от выбора конкретной задачи из данного класса задач и сетки. Во всех узлах сетки однородная к.р.с. имеет одинаковый вид.
Например: задача теплопроводности беск. стенки с пост. и перем., разрывным коэфф. Задача о растяжении стержня.
Необходимым условием сходимости однородной р.с. в классе разрывных коэффициентов является её консервативность (дивергентность).
Консервативными р.с. называют такие р.с., которые обеспечивают выполнение законов сохранения на сетке в интегральном смысле (даже при разрывных коэффициентах).
Подобные задачи могут возникать, если рассматриваются кусочно-однородные тела.
Интегро-интерполяционный метод (метод интегральных тождеств, метод баланса).
(на примере одномерного уравнения для растяжения неоднородного стержня продольными переменными усилиями).
Вводим на сетке промежуточные точки: 
и 
, 
.
Напомним, что 
. Интегрируем основное уравнение на отрезке 
:
,
.
Если , то 
. Интегрируем на отрезке 
:
,
, откуда 
, где 
.
Аналогично для 
. Обозначим 
и получим
,
, .
Если предположить, что 
, то получим
.
Рассмотрим г.у. второго рода: 
.
, где 
.
1. Вариационно-разностный метод (метод аппроксимации функционала). На примере плоской задачи ТУ.