Международный государственный экологический
институт им. А. Д. Сахарова. БГУ
Факультет мониторинга окружающей среды
Кафедра общей и медицинской физики
Лабораторная работа № 5.3 (К)
ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СДВИГ В СПЕКТРЕ АТОМАРНОГО ВОДОРОДА
Минск
ИЗОТОПИЧЕСКИЙ СДВИГ В СПЕКТРЕ АТОМАРНОГО ВОДОРОДА
Цель работы: измерение разности длин волн для спектральных линий серии Бальмера в спектрах испускания протия и дейтерия, расчет отношения масс дейтрона и протона по спектральным измерениям.
Учет движения ядра в модели круговых орбит
С помощью модели круговых орбит Н. Бора в работе 3 были получены формулы, в которых радиус орбиты, скорость электрона и полная энергия атома водорода выражаются через фундаментальные константы. При выводе этих формул атомное ядро полагалось неподвижным, что соответствует его бесконечно большой массе. На самом же деле, хотя масса ядра на три порядка превышает массу электрона, при точных расчетах массу ядра нельзя считать бесконечной.
Для учета конечности массы ядра в рамках модели Бора следует принять, что электрон и ядро согласно законам классической механики движутся с одинаковой угловой скоростью вокруг общего центра масс по круговым орбитам (рис. 3.1). При этом радиусы орбит, линейные скорости и центростремительные ускорения будут обратно пропорциональны массам этих частиц:
(3.1)
Центростремительное ускорение создается кулоновской силой притяжения электрона и ядра, так что, например, для электрона
| (3.2) |
Рис. 3.1
Стационарным состояниям соответствуют те орбиты, для которых момент импульса системы электрон – ядро кратен постоянной Планка ħ:
 , 
| (3.3) |
С учетом (3.1) формулам (3.2) и (3.3) можно придать вид:
| (3.2а) |
 
| (3.3а) |
Разделив (3.2а) на (3.3а), получим для скорости электрона:
 .
| (3.4) |
Подставив (3.4) в (3.3а), для радиуса электронной орбиты находим
 .
| (3.5) |
При этом расстояние между электроном и ядром r будет несколько больше, чем радиус орбиты электрона r e:
 .
| (3.6) |
В то же время размеры атома водорода, определяемые величиной
| d H = 2 r e, | (3.7) |
в силу (3.5) остаются точно такими, как и при бесконечной массе ядра.
Полная энергия атома E равна сумме кинетических энергий электрона и ядра
| (3.8) |
плюс потенциальная энергия их электростатического взаимодействия
 .
| (3.9) |
Подставляя в формулу (3.8) выражение для ve из (3.4), а в (3.9) – r e из (3.5) и суммируя результаты, получим выражение для энергии стационарных состояний атома водорода:
 .
| (3.10) |
К этому же результату приводит замена массы электрона m e на приведенную массу m системы электрон – ядро в формуле для E n, полученной в работе 5 и не учитывающей движения ядра.
 .
| (3.11) |
Если же такую замену произвести в формуле для радиуса орбиты электрона, то изменится ее смысл: это будет формула для расстояния между электроном и ядром.
Вводя энергетическую постоянную А
 ,
| (3.12) |
запишем выражение (3.10) для энергии стационарных состояний в виде:
 , n = 1, 2, 3,…
| (3.13) |
Если движение ядра не учитывается, то согласно (3.12) при M = ∞, энергетическая постоянная будет равна
 .
| (3.14) |
Подстановка фундаментальных констант в (3.14) дает следующее численное значение постоянной А ∞ – естественного масштаба энергий в атомной физике:
А ∞=13,605 692 эВ.
Учет движения ядра приводит также к более точному выражению для постоянной Ридберга
 ;  .
| (3.15) |
Именно эта уточненная постоянная R входит в обобщенную формулу Бальмера
 , m = 1, 2, 3,…; n = m +1, m +2, m +3,…
| (3.16) |