Пример расчета.
Рис. 3.12
Решение задачи:
1.Определяем опорные реакции
Горизонтальная реакция в заделке 
равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.
Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию 
направим, например, вниз, а момент 
– по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:
.
Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.
Из первого уравнения находим момент в заделке :
кН·м.
Из второго уравнения – вертикальную реакцию :
кН.
Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.
2.Строим эпюры перерезывающих сил 
и изгибающих моментов 
В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.
Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой 
и изгибающим моментом 
. Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.
Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.
Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому
кН.
Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».
Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому
кН·м.
Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент 
изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.
Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).
Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы 
появилось плечо: 
м. Поэтому
кН; 
кН·м.
Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем
кН;
кН·м.
Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда
кН;
кН·м.
Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь
кН;
кН·м.
Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим
.
По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).
Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.
На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:
,
где 
– момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:
.
Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: 
кН·см.
Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям
Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле
,
где 
– площадь поперечного сечения.
Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно 
кН. Тогда
кН/см2 
кН/см2,
то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.
Задача для самостоятельного решения:
Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью 
кН/м и сосредоточенным моментом 
кН·м, требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов 
, и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении 
кН/см2. Размеры балки м; 
м; 
м.
Критерии оценивания:
Оценка «5» ставится, если обучающийся верно решил задачу без ошибок;
Оценка «4» ставится, если обучающийся решил задачу полностью с ошибками;
Оценка «3» ставится, если обучающийся решил задачу не полностью;
Оценка «2» ставится, если обучающийся не решил задачу.
Краткие теоретические и справочно-информационные материалы по теме:
Изгибом называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты.
Деформация изгиба заключается в искривлении продольной оси бруса.
Брус с прямой осью, подвергающийся изгибу, обычно называется балкой.
Если в сечениях балки возникает только изгибающий момент (поперечные силы отсутствуют), то изгиб называется чистым.
При изгибе одни слои балки растягиваются, а противоположные им – сжимаются, например:
Из балки нагруженной только изгибающим моментом
сечениями I и II мысленно вырежем фрагмент длиной dz
Как видно в данном случае верхние слои балки сжаты, а нижние – растянуты.
При этом наибольшему растяжению/сжатию подвержены крайние нижний и верхний слои балки.
Между ними расположен нейтральный слой, длина которого вследствие изгиба балки не изменяется.
Нейтральный слой расположен на уровне центров тяжести поперечных сечений балки, нормально к плоскости, в которой действуют изгибающие нагрузки.
Линия, образованная пересечением нейтрального слоя с поперечным сечением балки называется нейтральной линией сечения.
В общем случае плоского прямого изгиба в поперечных сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент M и поперечная сила Q. Такой изгиб называется поперечным.
Для конкретизации направления внутренних усилий им присваиваются соответствующие индексы:
· Mx — момент, изгибающий относительно оси x (в плоскости yOz);
· Qy — cила, направленная поперек балки вдоль оси y.
Плоский прямой (поперечный) изгиб возникает при действии на балку системы внешних сил, перпендикулярных к ее оси и лежащих в плоскости, проходящей через главную центральную ось сечения балки.
Изогнутая ось балки в этом случае – плоская кривая, совпадающая с плоскостью действия внешних сил.
Для определения внутренних силовых факторов Q и M используется метод сечений, суть которого применительно к балке показана на следующем рисунке:
Рассматривая равновесие левой от сечения (I-I) части
с учетом правила знаков для Q и M, запишем следующие уравнения равновесия:
или в общем виде:
Внутренняя сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Изгибающий момент в поперечном сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил и пар, вычисленных относительно нейтральной оси рассматриваемого сечения и действующих по одну сторону от проведенного сечения.
Между изгибающим моментом M, поперечной силой Q и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют следующие дифференциальные зависимости:
Эти формулы могут быть использованы при построении и проверке эпюр Q и M.
Графические изображения функций Q и M по длине балки называют эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов.