ДЗ по теме «Комбинаторика» (для групп КС-20 и ЛИ-23)

1. Вычислите , , , , .

а) б)

в) г)

1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – три. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

1. Сколько существует чисел от 0 до 999999, в которых нет двух рядом стоящих одинаковых цифр? (ответ: 597871)

1. Десять человек выбирают делегацию в составе трёх человек. Сколько существует вариантов выбора, если

а) все члены делегации будут равноправны;

б) обязанности всех делегатов будут различны.

в) один из делегатов будет председателем?

1. У отца 4 апельсина, которые он раздает своим 8 сыновьям, причем каждый получает либо 1 апельсин, либо ничего. Сколькими способами это можно сделать? А если число апельсинов, получаемых каждым сыном, может быть любым (но, разумеется, не более 5)? (ответы: 6720; 32768)

1. В комнате студенческого общежития живут три студента. У них есть 4 чашки, 5 блюдец, 6 чайных ложек (все предметы отличаются друг от друга). Сколькими способами они могут накрыть стол для совместного чаепития (каждый получает ложку, блюдце и чашку)? (ответ: 172800)

1. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек. Трое судей независимо друг от друга нумеруют их в порядке, отражающем их выступление в соревновании. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле случаев победитель соревнования будет определен? (ответ: 0.28)

1. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые можно написать с помощью цифр 1,2,3,4. А если никакая цифра не должна появляться дважды в записи каждого числа? (ответы: 17760; 6660)

1. Сколькими способами можно расположить книги на полке?

1. Вязальщица вяжет полосатый шарф, сколько различных моделей шарфа она может придумать, если у неё нитки пяти разных оттенков, каждый из которых она хочет использовать только один раз?

1. Найти сумму всех пятизначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1,2,3,4,5 так, что в каждом числе ни одна цифра не повторяется. Решить ту же задачу для пятизначных чисел, которые можно записать цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9. (ответы: 3999960; 839991600).

1. Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр 3,6,9,4, если каждую цифру можно использовать 1 раз?

1. Из студентов выбираются для дежурства. Сколькими способами это можно осуществить?

1. У студентки в семестре предметов, из них в первый день какие-то три, не зная расписания, она пытается взять нужные учебники. Сколько у неё вариантов выбора?

1. Труппа состоит из 10 артистов. Сколькими способами можно выбрать из нее в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

1. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «ингредиент»?

1. Найти сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках следующих 4 цифр:

а) 1,2,3,4 б) 1,2,2,5 в) 1,3,3,3 г)1,1,4,4

(Ответы: а) 66660 б) 33330 в) 11110 г) 16665)

1. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток?

1. Сколько существует треугольников, у которых длина каждой стороны принимает одно из значений 4,5,6,7?

1. Укротитель зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров, при этом нельзя, чтобы 2 тигра шли друг за другом. Сколько существует способов расположить зверей?

1. Сколькими способами можно переставить буквы слова «перемет», чтобы три буквы «е» не шли подряд? Тот же вопрос для слова «обороноспособность», но две буквы «о» не могут идти подряд.

1. Решить уравнения:

а) ;

б) ;

в) ;