Задачи изучения темы
1. Познакомить учащихся со свойствами умножения: сочетательным свойством (свойством умножения числа на произведение) и свойством умножения числа на сумму. Научить применять данные свойства в качестве теоретической основы устных и письменных приемов вычислений.
2. Познакомить с приемами письменного умножения многозначных чисел на однозначные, двузначные и трехзначные разрядные и неразрядные числа.
3. Сформировать навыки письменного умножения.
Этапы изучения темы
1. Изучение приема письменного умножения трехзначных чисел на однозначные числа (Учебник М.И. Моро, 3 класс, часть 2, с. 74 – 77). Теоретическая основа приема – свойство умножения суммы на число (распределительное свойство умножения относительно сложения).
.2. Изучение приема письменного умножения многозначных чисел на однозначные числа (Учебник М.И. Моро, 4 класс, часть 1, с. 72 – 76). Теоретическая основа приема – свойство умножения суммы на число.
3. Изучение приема письменного умножения многозначных чисел на разрядные числа (на числа, оканчивающиеся нулями) (Учебник М.И. Моро, 4 класс, часть 2, с. 8 – 14).
Теоретическая основа приема – свойство умножения числа на произведение (сочетательное свойство умножения).
4. Изучение приема письменного умножения многозначных чисел на неразрядные двузначные и трехзначные числа (Учебник М.И. Моро, 4 класс, часть 2, с. 33 – 42). Теоретическая основа приема – свойство умножения числа на сумму.
Программой предусмотрено чередование в изучении письменного умножения и деления. Так, после изучения приема письменного умножения трехзначных чисел на однозначные числа вводится прием письменного деления трехзначных чисел на однозначные и т.д.
Методика изучения темы
Большинство письменных приемов вводится на основе их сопоставления с устными приемами вычислений.
1-й этап. Письменное умножение трехзначных чисел на однозначные числа.
Дети сначала вспоминают устный прием внетабличного умножения двузначного числа на однозначное, а затем переносят его на устное умножение трехзначного числа на однозначное:
34 · 2 = (30 + 4) · 2 = 30 · 2 + 4 · 2 = 60 + 8 = 68
234 · 2 = (200 + 30 + 4) · 2 = 200 · 2 + 30 · 2 + 4 · 2 = 400 + 60 + 8 = 468
Важно обратить внимание детей на то, что трехзначные числа неудобно и долго так умножать. Говорится, что удобнее записать решение столбиком. Ставится учебная задача: научиться умножать трехзначные числа в столбик (письменно). Учитель выясняет, кто уже умеет так умножать и предлагает детям самим объяснить, как правильно записать и умножить трехзначное число в столбик: х 234
2
Внимание детей нужно обратить на то, что здесь используется иной знак умножения – не точка, а крестик.
Можно показать, откуда берется краткая запись умножения в столбик, т.е рассмотреть запись, промежуточную между развернутой и краткой:
х 200 х 30 х 4 → х 234 → х 234
22222
400 60 8 8 468
+ 60
400
При переходе к более сложным случаям умножения становятся более очевидными преимущества письменного приема. Дети открывают алгоритм письменного умножения в опоре на алгоритм письменного сложения: сначала умножаем единицы, потом десятки, а потом сотни. Более развернутое объяснение предлагается в учебнике: Пишу: х 325 х 86
34
975 344
Умножаю единицы:
5 · 3 = 15, 15 ед. – это 1 дес. 5 ед.;
5 ед. пишу под единицами, а 1 дес. запоминаю и прибавляю его к десяткам после умножения десятков.
Умножаю десятки: 2 · 3 = 6. К 6 дес. прибавляю 1 дес., который получен при умножении единиц: 6 + 1 = 7, пишу 7 под десятками.
Умножаю сотни: 3 · 3 = 9. Пишу 9 под сотнями.
Читаю ответ: 975.
Необходимо сразу провести работу по предупреждению типичной ошибки. Многие дети, как они это иногда делали в письменном сложении, сначала прибавляют те разрядные единицы, которые запоминали, а потом умножают, однако здесь последовательность должна быть иной: сначала нужно умножать единицы определенного разряда, а потом прибавлять к произведению те единицы, которые образовались при умножении единиц предыдущего разряда.
Для объяснения того, почему умножение в столбик нужно начинать с низших разрядов, можно предложить попробовать решить пример, начиная с разряда сотен. Дети убеждаются, что в этом случае нам придется исправлять зачеркивать те цифры, которые были получены на предыдущих этапах: х 184
3
342
На основе предписания (памятки) дети учатся решать примеры сначала с подробным, а затем с кратким объяснением.
Для тренировки в письменном умножении на последующих уроках следует увеличить количество примеров на умножение двузначных чисел на однозначное, в которых закрепляются табличные случаи с числами 6, 7, 8, 9 (89 · 7, 96 · 8 и т.п.).
2-й этап. Письменное умножение многозначных чисел на однозначные числа.
На данном этапе сначала обобщаются и систематизируются знания учащихся об умножении. Необходимо повторить следующий материал:
- конкретный смысл действия умножения;
- свойства умножения (переместительное и распределительное – умножение суммы на число);
- связь между компонентами и результатами действия умножения;
- особые случаи умножения (с числами 0 и 1).
При повторении ранее изученного материала важно организовать работу так, чтобы ученики сами вели рассуждения. При этом они должны обращаться к справочному материалу, находить соответствующие формулировки и читать их.
Прием письменного умножения многозначного числа на однозначное число ученики могут объяснить сами по аналогии с письменным умножением трехзначных чисел. Далее ученики приходят к выводу, что письменное умножение любого многозначного числа на однозначное выполняется так же, как умножение трехзначного числа на однозначное число: сначала умножают единицы, потом десятки, сотни и т.д. (этот вывод дан и в учебнике).
Сначала дается подробное объяснение способа вычисления: х 5432
3
"Второй множитель подписали под единицами первого множителя и умножили на него сначала единицы: 2 умножить на 3, получится 6; подписали 6 под единицами. Умножили десятки: 3 умножить на 3, получится 9, подписали 9 под десятками. Умножили сотни: 4 умножить на 3, получится 12; 12 сот. – это 1 тыс. и 2 сот.; подписали 2 под сотнями, а 1 тыс. надо запомнить" И т.д.
После решения нескольких примеров с таким подробным объяснением, нужно переходить к решению с более кратким объяснением. В кратком объяснении не называется каждый раз, единицы какого разряда умножаем. Например, при умножении 7158 на 6 рассуждают так: "8 умножу на 6, получу 48, 8 пишу, 4 запоминаю; 5 умножу на 6, получу 30, да 4 – будет 34, 4 пишу, 3 запоминаю" и т.д. Сначала ученики проговаривают такое объяснение вслух, а затем учитель предлагает им объяснять решение кратко, рассуждая про себя.
Закрепление знания приема умножения и выработка навыка происходит в результате самостоятельного решения детьми примеров.
Прием умножения однозначных чисел на многозначные сводится к ранее рассмотренному приему умножения многозначного числа на однозначное путем перестановки множителей. Детям предлагается самим объяснить, какой прием можно использовать, если нужно однозначное число умножить на многозначное. (Можно переставить множители, тогда получится пример на умножение многозначного числа на однозначное; решив его, получим такой же результат, как при умножении однозначного числа на многозначное).
Отдельно рассматриваются особые случаи умножения, когда в записи многозначного числа встречаются нули. В качестве подготовки нужно вспомнить правила умножения с числом 0: а · 0 = 0, 0 · а = 0.
При решении примеров вида 918 · 0 надо обратить внимание детей, что при умножении на нуль числа десятков, сотен и т.д. в произведении тоже получится нуль десятков, сотен и т.д.
Объяснить случай, когда в середине записи многозначного числа есть нули, ученики могут сами: х 907
3
Рассуждение будет таким: "Пишу число 3 под единицами. Умножаю на 3 число единиц: трижды семь – 21, это 2 дес. и 1 ед.; пишу 1 под единицами, а 2 дес. запоминаю. Умножаю десятки: 0 умножить на 3, получится 0, да 2, получится 2 дес.; пишу 2 под десятками". И т.д.
Более сложным является случай умножения многозначных чисел, запись которых оканчивается нулями. В качестве подготовки рассматриваются устные приемы вычислений:
800 · 7 24000 · 3 __________
8 сот. · 7 = 56 сот. 24 тыс. · 3 = 72 тыс.
800 · 7 = 5600 24000 · 3 = 72000
Объяснение: "Умножили число сотен (тысяч) на однозначное число и полученное число сотен (тысяч) выразили в единицах, приписав справа два (три) нуля, т.е. столько, сколько было нулей в конце первого множителя.
Устный прием помогает понять новую форму записи подобных примеров в столбик:
х 380 х 8400 х 69000
9 7 4 ___
3420 58800 276000
Можно предложить детям рассмотреть такие записи в учебнике и ответить на вопросы:
- Как подписан второй множитель под первым? (Второй множитель подписан под первой цифрой справа, отличной от нуля).
- Где оказались нули, которые записаны на конце первого множителя? (Нули остались справа).
- Для чего так подписали второй множитель? (Чтобы умножать дальше только число десятков, например, 38, или число сотен, например, 84, или число тысяч, например, 69).
-Сколько получилось в этих произведениях десятков, сотен, тысяч (В первом – 342 дес., во втором – 588 сот., в третьем – 276 тыс.).
- Как выразили эти числа в единицах? (В первом произведении приписали справа один нуль, во втором – два нуля, в третьем – три нуля).
-Сравните число нулей, записанных на конце первого множителя и на конце произведения. (На конце произведения столько же нулей, сколько на конце первого множителя).
После этого можно предложить сделать вывод о том, как умножаются числа, запись которых оканчивается нулями. Вывод должен быть следующим: " При умножении чисел, запись которых оканчивается нулям, второй множитель подписывают под первой цифрой справа, отличной от нуля, умножают число десятков, сотен, тысяч на однозначное число, а к результату приписывают столько нулей, сколько их на конце первого множителя".
3-й этап. Письменное умножение многозначных чисел на разрядные числа (на числа, оканчивающиеся нулями).
На этом этапе сначала изучается сочетательное свойство умножения (умножение числа на произведение): два соседних множителя можно заменять их произведением.
Умножить число на произведение можно разными способами:
1-й способ: 6 · (3 · 4) = 6 · 12 = 72
Вычислить произведение и умножить на него число.
2-й способ: 6 · (3 · 4) = (6 · 3) · 4 = 18 · 4 = 72
Умножить число на первый множитель и результат умножить на второй множитель.
3-й способ: 6 · (3 · 4) = (6 · 4) · 3 = 24 · 3= 72
Умножить число на второй множитель и результат умножить на первый множитель.
На основе данного свойства сначала рассматривается устный прием вычисления вида 18 · 20 = 18 · (2 · 10) = (18 · 2) · 10
Для подготовки к введению приема можно предлагать задания и вопросы:
- Произведением каких чисел можно заменить число 14? 15? 20?
- Замените число 30 (50, 80) произведением двух чисел, одно из которых равно 10.
- Замените число 400 (600, 700) произведением двух чисел, одно из которых равно100.
- Решите примеры удобным способом: 13 · (4 · 10), 25 · (2 · 7)
Необходимо также вспомнить способ умножения на 10, 100 и 1000.
Прием объясняется детьми так: "Заменили число 20 произведением чисел 2 и 10. Получили выражение: 18 умножить на произведение 2 и 10. Удобнее сначала 18 умножить на 2, и полученный результат 36 умножить на 10, получится 360". Нужно обратить внимание детей на то, что здесь число 20 заменили произведением удобных множителей, и предложить объяснить, почему эти множители удобные (легко умножать на 10).
При переходе к письменному случаю умножения на разрядные числа ученикам предлагается сначала объяснить устные приемы умножения:
243 · 20 = 243 · (2 · 10) = 243 · 2 · 10
532 · 300 = 532 · (3 · 100) = 532 · 3 · 100
Устно выполнить вычисления в этих случаях трудно, поэтому предлагается записать в столбик. При этом обращается внимание на новую форму записи:
х 243 х 532
20300
4860 159600
Второй множитель удобно записать под первым так, чтобы нули были справа от цифры единиц второго множителя. В первом случае умножаем сначала на 2, а потом на 10, т.е. приписываем к произведению справа 0. Аналогично и во втором примере: умножаем сначала на 3, а потом на 100, т.е. приписываем два нуля.
На этом этапе также рассматривается особый случай умножения двух чисел, оканчивающихся нулями.
Сначала вводится устный прием для этих случаев:
80 · 40 = 8 дес. · (4 · 10) = 8 дес. · 4 · 10 = 320 дес. = 3200
600 · 90 = 6 сот. · 90 = 6 сот. · (9 · 10) =540 сот. = 54000
В опоре на записи в учебнике дети могут сами открыть способ вычисления. Например, в первом случае надо 8 умножить на 4, т.е умножить числа, не глядя на нули, а затем к полученному произведению приписать столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей – 2 нуля. Аналогично рассматривается и второй пример. На основе этого осуществляется переход к записи в столбик:
х 7600 х 2540 х 1720
4030060
304000 762000 103200
В каждом случае отмечается, что мы записываем числа, оставив нули справа (второй множитель подписываем под первым так, чтобы цифра, отличная от нуля, стояла под первой цифрой, отличной от нуля первого множителя). Выполняем умножение, не обращая внимания на нули, которыми оканчиваются записи. Затем приписываем к произведению столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе.
В этой же теме ученики знакомятся с приемом перестановки и группировки множителей, основанном на переместительном и сочетательном свойствах умножения: множители можно переставлять и группировать любыми способами. Прием служит для рационализации вычислений.
4-й этап. Письменное умножение многозначных чисел на неразрядные двузначные и трехзначные числа.
На данном этапе сначала изучается свойство умножения числа на сумму. Рассматриваются 2 способа:
1-й способ: 16 · (2 + 3) = 16 · 5 = 80
Вычислить сумму и умножить на нее число.
2-й способ: 16 · (2 + 3) = 16 · 2 + 16 · 3 = 80
Умножить число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Для того, чтобы дети не смешивали свойства умножения числа на сумму и умножения числа на произведение полезно предложить им упражнения на сравнение:
15 · 10 + 15 · 7 * 15 · 70
9 · (10 + 3) * 9 · (10 · 3)
При выполнении упражнения рассуждения могут быть такими. В первой строке в выражении слева мы умножили 15 на сумму 10 и 7, т.е. на 17, а в выражении справа мы 15 умножили на 70, ставим знак <. Аналогичное рассуждение проводится и для 2-го задания.
На основе введенного свойства проводится ознакомление учащихся с устным приемом вычисления:
12 · 15 = 12 · (10 + 5) = 12 · 10 + 12 · 5 = 180
40 · 32 = 40 · (30 + 2) = 40 · 30 + 40 · 2 = 1280
Важно предупредить уподобление данного приема и ранее изученного. Для этого целесообразно сравнить приемы, найти их сходство и отличие:
35 · 14 = 35 · (10 + 4) 35 · 40 = 35 · (4 · 10)
При умножении на неразрядное число мы это число заменяем суммой, а при умножении на разрядное число мы его заменяем произведением.
При введении письменного умножения на двузначное число школьникам предлагается сначала решить пример устно:
69 · 48 = 69 · (40 + 8) = 69 · 40 + 69 · 8 = 69 · 8 + 69 · 40
Вычислить произведение устно в этом случае трудно, поэтому детям предлагается считать в столбик:
х 69 х 69 +552
8402760
552 2760 3312
Вводится новый термин: произведения 552 (умножили число на единицы) и 2760 (умножили число на десятки) называются неполными. Сложив 1-е и 2-е неполные произведения, мы получим ответ – 3312.
Детям предлагается сделать более короткую запись, т.е. записать это в столбик: х 69 Вводится способ рассуждения: подписываем единицы
48 под единицами, а десятки под десятками. Умножим 69 на число
+552 единиц, на 8, получим первое неполное произведение – 552.
2760 Умножим 69 на 40, сначала на 4, на число десятков, а потом
3312 результат умножим на 10. Получим 2-е неполное произведение –
2760. Сложим неполные произведения.
Особое внимание нужно уделить особенностям 2-го неполного произведения. Дети могут решить еще 1-2 примера и убедиться в том, что второе неполное произведение всегда будет оканчиваться нулем, т.к. мы умножаем на разрядное число, т.е. на круглые десятки. При сложении этот нуль не влияет на окончательный результат (сложив число единиц первого неполного произведения с нулем, мы всегда получим число единиц 1-го неполного произведения). Поэтому можно его не писать, а начать подписывать 2-е неполное произведение сразу под десятками
1-го неполного произведения.
Далее по учебнику учащиеся могут познакомиться с алгоритмом письменного умножения на двузначное число:
§ Подписываю единицы под единицами, десятки под десятками.
§ Умножу первый множитель на число единиц.
§ Получу первое неполное произведение.
§ Умножу первый множитель на число десятков.
§ Получу второе неполное произведение.
§ Начну подписывать второе неполное произведение под десятками.
§ Сложу неполные произведения.
§ Читаю ответ.
Сначала примеры решаются с подробным объяснением, затем с кратким, а на последующих уроках детям предлагается выполнять рассуждения про себя.
На этом этапе рассматриваются особые случаи умножения (с нулями в записи 1-го или 2-го множителя). Детям предлагается самим объяснить способ записи и способ вычисления:
х 7500 х 5006 х 10090
39 32 58 _
+675 +10012 +8072
225 15018 5045 __
292500 160192 585220
Умножение на трехзначное число вводится в опоре на прием умножения на двузначное. Дети могут объяснить сами, что при умножении на трехзначное число нужно будет умножить еще и на сотни, получить третье неполное произведение, которое нужно начинать подписывать под сотнями:
х 769 х 769
24524
+3076 3076
1538 + 1538
18456 3845 ___
Особо рассматриваются случаи умножения на трехзначное число, когда в записи второго множителя есть нули:
х 327 х 614
406280
+1962 +4912
1308 1228 ___
132762 171920
Детям предлагается назвать каждое неполное произведение и объяснить, почему в таких случаях при умножении на трехзначное число записывают только 2 неполных произведения. Обращается внимание на то, как подписаны эти неполные произведения.