При нагружении балки ось балки искривляется. Точки оси получают по-перечные перемещения, а попереч-ные сечения совершают поворот от-носительно своих нейтральных осей. Изогнутую ось балки называют упру-гой линией. Углы поворота сечений φ могут быть определены и как углы наклона касательных к упругой линии в данном сечении (рис. 10.8).
Рис. 10.8
Линейные V и угловые φ перемещения являются функциями координаты х. В силу малости углов поворота имеет:
φ(х) 
Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой V(х) может быть определена по формуле:
.
Поскольку величина 
величина малая по сравнению с единицей, то упрос-тив последнее выражение можно записать приближённое дифференциальное уравнение:
.
С учётом ранее полученного при изгибе выражения:
имеем, EIz 
=Mz(x),
где: Iz- момент инерции поперечного сечения балки, относительно её нейт-ральной оси z;
Е- модуль продольной упругости материала;
EIz- изгибная жёсткость.
В общем случае для определения функции прогибов и углов поворота не-обходимо проинтегрировать последнее уравнение и определить константы интегрирования из граничных условий –условий закрепления на опорах. В случае двухопорной балки – это равенство нулю перемещений над опорами, а в случае жёсткого защемления – равенство нулю и угла поворота, и перемещения в заделке.
Для балки, имеющей несколько участков, решение существенно осло-жняется, поскольку на каждом участке функция Mz(x) имеет иное аналитичес-кое выражение и необходимо на границах соседних участков обеспечить непрерывность функций φ(х) и V(х). Это приводит к тому, что для балки, име-ющей n участков из числа 2n граничных условий получать 2n алгебраических
уравнений и решая эту систему находить 2n постоянных интегрирования.
Для балок постоянной жесткости (EIz=const) можно свести решение к нахождению только двух констант интегрирования при любом количестве участков. Это возможно в случае, когда в аналитических выражениях для мо-ментов или прогибов при переходе к следующему участку повторялись все члены предыдущего участка, а вновь появляющиеся слагаемые обращаются в нуль на границе нового участка.
Рассмотрим балку, нагруженную силовыми воздействиями, вызывающи-ми вертикальные перемещения в положительном направлении оси у (рис. 10.9). Начало координат поместим в крайнюю левую точку оси балки, и оно будет общим для любого участка. Выражения для изгибающих моментов Mz(х) будем состав-лять, рассматривая в равнове-сии левую часть балки. Запи-шем уравнение для пятого участка (d 
x l)
Mz(x)=M(x-a) 
+F(x -b)+
q 
.
Для обеспечения рекуррентно-
сти для пятого участка введена
Рис.10.9 “компенсирующая” распределён-ная нагрузка, поскольку сохранив предпоследнее слагаемое (мы как бы продлили распределённую нагрузку и на пятый участок) следует обеспечить действительное силовое воздействие. В первом слагаемом сомножителем введена (х -а) =1. Размеры a, b, c, d соответствуют координате приложения внешних воздействий.
Легко убедиться, что для любого участка Mz(х) можно получить, сох-ранив в уравнении слагаемые, расположенные левее проведенного на участке сечения.
Дважды проинтегрировав последнее выражение, получим:
E 
V(x) = c1+c2 x + 
.
Постоянные интегрирования С1и С2 по своей сути означают:
С1=E 
С2=E 
- прогиб V 
и угол поворота сечения φ в начале ко-ординат (х = 0), умноженные на жёсткость сечения при изгибе. Эти постоян-ные определяются из граничных условий. Если начало координат совпадает с жёсткой заделкой, то φ = 0, V = 0. Если начало координат совпадает с левой
опорой, то прогиб V =0, а вторую константу определяют из условия равенства
нулю прогиба на правой опоре.
Выявив составляющие от различных внешних силовых факторов мож-но записать универсальное уравнение упругой линии балки.
EIzV=EIzV◦+EIzφ◦ x 
где: Mi, Fi, qi – внешние нагрузки, включающие и опорные реакции, располо-женные левее (знак ”л” над знаком суммы) от рассматриваемого сечения;
ai, bi, ci, di – расстояния от начала координат до сечения, где приложена данная нагрузка;
V- перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикуляр-ному оси балки х.
Углы поворота легко получить дифференцированием функции прогибов. Величины φ , 
называют начальными параметрами, что и определило назва-ние метода.
Построив упругую линию по расчётным значениям прогибов в несколь-ких сечениях проверяют, выполняется ли условие жёсткости:
Vmax Vadm;
где: Vadm назначается как (0.01 
0.001) длины пролёта балки и принимается в зависимости от назначения этой конструкции.
Если прочность балки обеспечена, а условие жёсткости не выполнено, то следует подобрать размеры сечения такими, чтобы обеспечить и жёсткость. К примеру если Vmax=1.5Vadm, то момент инерции нового сечения должен быть в полтора раза больше момента инерции прежнего сечения.
Композитный брус
Сохранив условия задачи для чистого прямого изгиба призматического бруса (см. п.7.4.), предположим его выполненным из двух материалов с модулями продольной упругости E 1 и Е 2. Поперечное сечение имеет геометри-ческую и упругую симметрию относительно вертикальной оси (рис.10.10, а, в).
Положение нейтральной оси устанавливается из условия N = 0. Можно принять 
, где 
– ордината точки, измеряемая от оси 
, проходящей через центр тяжести сечения; 
– ордината, определяющая положение нейтральной оси относительно оси 
, и записать
откуда
а б в г
Рис.10.10
Здесь A 1 и А 2 − площади сечения, соответствующие материалам с модулями E 1 и Е 2.
Условие My = 0 представляется в виде
и служит для установления ориентации осей z и у. В данном случае ось у совпадает с осью симметрии сечения, а ось z перпендикулярна ей.
Интегральная формула для Mz имеет вид
где 
и 
– моменты инерции площадей А 1 и А2 относительно нейтральной оси.
Таким образом,
Напряжения на отдельных участках сечения будут
Характер эпюр σ виден из рис.10.10, б, г (предполагается, что E 2 >E 1).