Примеры решения задач по теории вероятностей
Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет.
Вы выиграли в лотерею — случайное событие. Пригласили друзей отпраздновать выигрыш, а они по дороге к вам застряли в лифте — тоже случайное событие. Правда, мастер оказался поблизости и освободил всю компанию через десять минут — и это тоже можно считать счастливой случайностью…
Наша жизнь полна случайных событий. О каждом из них можно сказать, что оно произойдет с некоторой вероятностью. Скорее всего, вы интуитивно знакомы с этим понятием. Теперь мы дадим математическое определение вероятности.
Начнем с самого простого примера. Вы бросаете монетку. Орел или решка?
Такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов, в теории вероятностей называют испытанием.
Орел и решка — два возможных исхода испытания.
Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна 1/2.
Бросим игральную кость. У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов тоже шесть.
Например, вы загадали, что выпадет три очка. Это один исход из шести возможных. В теории вероятностей он будет называться благоприятным исходом.
Вероятность выпадения тройки равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных).
Вероятность четверки — тоже 1/6
А вот вероятность появления семерки равна нулю. Ведь грани с семью точками на кубике нет.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.
Вот другой пример. В пакете 25 яблок, из них 8 - красные, остальные -зеленые. Ни формой, ни размером яблоки не отличаются. Вы запускаете в пакет руку и наугад вынимаете яблоко. Вероятность вытащить красное яблоко равна 8/25, а зеленое — 17/25.
Вероятность достать красное или зеленое яблоко равна 8/25 + 17/25 = 1.
1. В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет желтое такси.
Всего имеется 15 машин, то есть к заказчице приедет одна из пятнадцати. Желтых — девять, и значит, вероятность приезда именно желтой машины равна 9/15, то есть 0,6.
2. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Очевидно, вероятность вытащить билет без вопроса о грибах равна 23/25, то есть 0,92.
3. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с картинами известных художников и 18 с изображениями животных. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с животным.
Ответ: 0,6.
4. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая последней, окажется из Китая.
Давайте представим, что все спортсменки одновременно подошли к шляпе и вытянули из нее бумажки с номерами. Кому-то из них достанется двадцатый номер. Вероятность того, что его вытянет китайская спортсменка, равен 5/20 (поскольку из Китая — 5 спортсменок). Ответ: 0,25.
5. Ученика попросили назвать число от 1 до 100. Какова вероятность того, что он назовет число кратное пяти?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... 100
Каждое пятое число из данного множества делится на 5. Значит, вероятность равна 1/5.
6. Брошена игральная кость. Найдите вероятность того, что выпадет нечетное число очков.
1, 3, 5 - нечетные числа; 2, 4, 6 — четные. Вероятность нечетного числа очков равна 1/2.
Ответ: 0,5.
7. Монета брошена три раза. Какова вероятность двух «орлов» и одной «решки»?
Заметим, что задачу можно сформулировать по-другому: бросили три Монеты одновременно. На решение это не повлияет.
Как вы думаете, сколько здесь возможных исходов?
Бросаем монету. У этого действия два возможных исхода: орел и решка
Две монеты - уже четыре исхода:
1. ОРЕЛ ОРЕЛ
2. ОРЕЛ РЕШКА
3. РЕШКА ОРЕЛ
4. РЕШКА РЕШКА
Три монеты? Правильно, 8 исходов, так как 2 2 2 = 2³ = 8.
1. ОРЕЛ ОРЕЛ ОРЕЛ
2. ОРЕЛ ОРЕЛ РЕШКА
3. ОРЕЛ РЕШКА ОРЕЛ
4. РЕШКА ОРЕЛ ОРЕЛ
5. ОРЕЛ РЕШКА РЕШКА
6. РЕШКА ОРЕЛ РЕШКА
7. РЕШКА РЕШКА ОРЕЛ
8. РЕШКА РЕШКА РЕШКА
Два орла и одна решка выпадают в трех случаях из восьми.
Ответ: 3/8.
8. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Бросаем первую кость - шесть исходов. И для каждого из них возможны еще шесть - когда мы бросаем вторую кость.
Получаем, что у данного действия - бросания двух игральных костей - всего 36 возможных исходов, так как 6² = 36.
А теперь — благоприятные исходы:
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
Вероятность выпадения восьми очков равна 5/36 ≈ 0,14.
9. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий - кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.
Решение
Всего в задаче указано 4 человека, т.е. n = 4. При этом нас устраивает только один вариант — мама, т.е. k = 1. Имеем: p = k/n = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25
10.Аня, Таня, Маша и Саша бросили жребий - кому первому водить в салочках. Найдите вероятность того, что водить будет Аня.
Решение
Аналогично предыдущей задаче, здесь указано 4 имени, т.е. n = 4. Из них нас устраивает только Аня, т.е. k = 1. Находим вероятность: p = k/n = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25
11.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.
Решение
Поскольку всего заявлено 50 выступлений, то n = 50. Теперь посмотрим, сколько выступлений состоится в каждый из дней конкурса. По условию, на первый день запланировано 26 выступлений. Значит, на другие дни останется 50 − 26 = 24 выступления.
Эти выступления распределены поровну между оставшимися 4 днями, т.е. на каждый день приходится по 24: 4 = 6 выступлений. Получаем следующее распределение по дням:
26 выступлений;
6 выступлений;
6 выступлений;
6 выступлений;
6 выступлений.
Нас интересует третий день, на который приходится 6 выступлений. Таким образом, k = 6. Находим вероятность: p = k/n = 6/50 = 0,12.
Ответ: 0,12
12.Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса.
Решение
Решается аналогично предыдущей задаче. Всего заявлено 80 выступлений, т.е. n = 80. Далее, на первый день уйдет 20 выступлений. Тогда на остальные: 80 − 20 = 60. Поскольку всего останется 2 дня, то каждый день будет по 60: 2 = 30 выступлений.
Нас интересует третий день, в который, как мы только что рассчитали, состоится 30 выступлений. Поэтому k = 30. Находим вероятность: p = k/n = 30/80 = 0,375.
Ответ: 0,375
13.Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение
У кубика 6 граней, поэтому всего возможно 6 вариантов: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков. Получаем, что n = 6 - по числу граней. Нас интересуют случаи, когда выпадает менее 4 очков. Другими словами, если выпадет 1, 2 или 3 очка, нас это устраивает. Всего таких вариантов k = 3. Находим вероятность: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5
14.Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало более 3 очков?
Решение
Аналогично предыдущей задаче. У кубика 6 граней, поэтому n = 6. Нас интересуют случаи, когда выпало более 3 очков: 4, 5, 6 - всего 3 варианта. Поэтому k = 3. Итого: p = k/n = 3/6 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5
15.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.
Решение
Для начала выясним, сколько всего спортсменов приехало на соревнования: 2 из Великобритании + 2 из Испании + 4 из Швейцарии = 8 спортсменов. Итого: n = 8.
С другой стороны, нас интересуют лишь спортсмены из Испании, которых было 2 штуки. Поэтому k = 2. Находим вероятность: p = k/n = 2/8 = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25