Для подготовки к контрольным работам 1-3, проводимым в
М семестре по дисциплине «Высшая математика»
Контрольная работа № 1 (Раздел III, тема 3.1, 3.2)
В А Р И А Н Т 1
1. Пусть 
– событие: i -й студент сдал экзамен. Найти выражение для события: экзамен сдали только два студента.
2. Какова вероятность того, что последняя цифра наугад набранного телефонного номера окажется равной 5 или кратной 3?
3. Из трех маршрутов трамваев № 8, № 10 и № 15 для служащего попутными являются маршруты № 8 и № 10. Вычислите вероятность того, что к остановке первым подойдет трамвай попутного для него номера, если по линиям маршрутов № 8, № 10 и № 15 курсируют соответственно 7, 9 и 12 вагонов. Протяженности маршрутов считаются одинаковыми.
4. Издательство разослало рекламные материалы на новый учебник по бухгалтерскому учету, которые получили 80 % профессоров, читающих этот курс в различных высших учебных заведениях. Отобрали эту книгу и приняли ее для преподавания 30 % профессоров, получивших рекламные материалы и 10 % не получивших их. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный профессор вуза принял этот учебник для преподавания? Какова вероятность того, что профессор, принявший учебник для преподавания, получил рекламные проспекты?
5. Число дефектов в продукции, производимой автоматом – случайная величина Х, заданная рядом распределения:
| |||||
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
а) найдите 
;
б) определите 
;
в) постройте функцию распределния.
В А Р И А Н Т 2
1. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Событие 
– «попадание в мишень» при i -ом выстреле 
. Выберите правильное выражение для следующего события: «Хотя бы одно попадание в цель»:
; 
; 
; 
; 
.
2. Какова вероятность того, что наудачу взятая пластинка игры домино содержит число очков не менее 4 и не более 6?
3. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения консультационной работы в корпорации А (событие А) равна 0,45. Эксперты также полагают, что если фирма получит заказ у корпорации А, то вероятность того, что и корпорация В обратится к ним, равна 0,9. Какова вероятность, что консультационная фирма получит оба заказа?
4. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях из первой группы выделено четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятности попадания для студента каждой группы в сборную университета соответственно равна 0,5; 0,4 и 0,3. Какова вероятность, что наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную?
5. У вкладчика Иванова остаток счета на 1 мая был 5 000 рублей. 1 июля он дополнительно внес 400 рублей, а на 1 октября – еще 2 000 рублей. Какова средняя величина вклада за полугодие с 1 мая по 30 октября?
В А Р И А Н Т 3
1. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражение для события: «произошли события А и С, но событие В – не произошло».
2. Подбрасываются 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет не больше 5?
3. В большой рекламной фирме 21 % работников получают высокую заработную плату. Известно также, что 40 % работников фирмы – женщины, а 6,4 % работников – женщины, получающие высокую заработную плату. Можем ли мы утверждать, что на фирме существует дискриминация женщин в оплате труда?
4. Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономического роста, равна 0,04 и 0,13 – в период экономического кризиса. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
5. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. За каждое попадание стрелок получает 21 рубль. Сколько рублей он должен платить за каждый промах, чтобы игра была безобидной?
В А Р И А Н Т 4
1. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражение для события: «произошло не более двух событий».
2. Жюри конкурса определило 10 претендентов, одинаково достойных первой премии. Среди них оказалось 5 научных сотрудников, 2 студента, 3 рабочих. Какова вероятность того, что в результате жеребьевки премия будет выдана или ученому, или рабочему?
3. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса. Вычислить вероятность того, что студент ответит на все три вопроса.
4. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью, равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
5. На торговой базе для продажи приготовлена партия из 10 моторов стоимостью в 100 условных денежных единиц каждый. Если покупатель в приобретенной партии обнаружит хотя бы один неисправный мотор, то ему возвращается его двойная стоимость. Найдите ожидаемую чистую прибыль для продавца, если вероятность дефекта для любого мотора равна 0,08. Предполагается, что качество моторов не зависит друг от друга.
В А Р И А Н Т 5
1. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражение для события: «произошло два и только два события».
2. Подбрасываются 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков не больше 6?
3. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0,06. Предполагается, что оба события - независимы. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы?
4. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
5. Согласно статистическим данным вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0,998. Страховая компания предлагает 25-летнему человеку на сумму 1 000 000 руб. Страховой взнос равен 3 000 руб. Какую прибыль ожидает получить компания при страховании 25-летнего человека?
В А Р И А Н Т 6
1. Пусть событие А заключается в том, что выбранный студент оказался юношей; событие В – в том, что он учится на заочном факультете; событие С – студент живет в общежитии. Опишите событие 
.
2. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 4 карты. Найти вероятность, что среди них окажется точно один туз (событие В).
3. Для участия в судебном процессе из 20 потенциальных кандидатов, среди которых 8 женщин и 12 мужчин, выбирают 6 присяжных заседателей. Какова вероятность, что среди 6 выбранных присяжных окажется хотя бы одна женщина?
4. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке – фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались фамилии 2 женщин и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?
5. Приблизительно 10 % бутылок бракуются на линии разлива пива из-за серьезных трещин в стекле. Если 2 бутылки отобраны случайно, найдите среднюю и дисперсию числа бутылок, имеющих серьезные дефекты.
В А Р И А Н Т 7
1. Пусть событие А заключается в том, что выбранный студент оказался юношей; событие В – в том, что он учится на заочном факультете; событие С – студент живет в общежитии. Опишите событие 
.
2. Монета подбрасывается три раза. Найдите вероятность того, что при этом (безразлично в каком порядке) выпадет два раза герб и один раз цифра?
3. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условное место, соответственно равна 0,8; 0,4 и 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.
4. Детали для обработки поступают из 2 заготовительных цехов: из первого цеха – 70 %, из второго – \30 %, причем продукция 1-го цеха имеет 10 % брака, а продукция 2-го цеха – 20 % брака. Какова вероятность того, что случайно взятая деталь будет без дефектов?
5. В налоговую инспекцию поступила информация, что в фирме «А» 20 % списочного состава – «мертвые души». Проверяющий инспектор отбирает случайным образом 4 наряда на выполненные работы и ищет работников, на которых они были выписаны. Какова вероятность того, что среди 4-х случайно выбранных нарядов не будет ни одного фиктивного? Будет хотя бы один фиктивный?
В А Р И А Н Т 8
1. Если событие А – выигрыш по билету одной лотереи, В – выигрыш по билету другой лотереи, то что означает событие: 
?
2. Преподаватель вызвал через старосту на обязательную консультацию трех студентов из шести отстающих. Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу трех отстающих студентов. Какова вероятность того, что староста послал именно тех студентов, которых назвал преподаватель?
3. Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.
4. Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,6, когда ситуация «хорошая; с вероятностью 0,3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0,1 когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент индекс экономического состояния изменился. Чему равна вероятность того, что экономика страны на подъеме?
5. Монета подбрасывается 5 раз. Составьте закон распределения вероятностей для числа выпадений герба.
В А Р И А Н Т 9
1. Если событие А – выигрыш по билету одной лотереи, В – выигрыш по билету другой лотереи, то что означает событие: 
?
2. В универмаге были проданы 27 штук магнитофонов трех марок «Samsung», «Panasonic» и «Toshiba», имеющихся в количествах 6, 8 и 16 штук. Полагая, что каждый магнитофон имеет одинаковую возможность быть проданным, найдите вероятность того, что остались непроданными магнитофоны одной марки.
3. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98; второй – с вероятностью 0,94; а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайней мере одно из двух входящих вместе покупателей?
4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго автомата. Первый автомат производит в среднем 60 % деталей отличного качества, а второй – 84 % деталей отличного качества. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта детали изготовлена первым автоматом. Вторым автоматом.
5. Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых полисов старше 50 лет предъявили претензии на полученные страховки. Для проверки было отобрано 15 человек, имеющих полисы. Чему равна вероятность того, что по крайней мере 10 человек проявят тревогу в течение следующего года?
В А Р И А Н Т 10
1. Пусть – событие: i -й студент сдал экзамен по математической статистике. Что означает событий
?
2. В универмаге были проданы 27 штук магнитофонов трех марок «Samsung», «Panasonic» и «Toshiba», имеющихся в количествах 6, 8 и 16 штук. Полагая, что каждый магнитофон имеет одинаковую возможность быть проданным, найдите вероятность того, что остались непроданными магнитофоны трех разных марок.
3. Игральная кость бросается дважды. Определить вероятность того, что по крайней мере один раз появится 6 очков?
4. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
5. Экзаменационный тест имеет 15 вопросов, каждый из которых имеет 5 возможных ответов, и только 1 из них верный. Предположим, что студент, который сдает экзамен, не знает ответов на вопросы. Чему равна вероятность правильно ответить ему по крайней мере на 10 вопросов?