ВОПРОСЫдля подготовки К ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«МАТЕМАТИКА»
курс, весенний семестр 2016-2017 уч. года, дневная форма обучения
Метельский В.М., кандидат физико-математических наук, доцент
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Неопределенные интегралы от основных элементарных функций.
2. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование; замена переменной в неопределенном интеграле; интегрирование по частям.
3. Интегрирование простейших рациональных дробей; интегрирование дробей, содержащих квадратный трехчлен.
4. Рациональные функции. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Нахождение коэффициентов разложения. Интегрирование рациональных функций.
5. Интегрирование иррациональных функций.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
7. Определенный интеграл и его свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование.
8. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование периодических, четных и нечетных функций.
9. Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
10. Приложения определенных интегралов к вычислению объемов тел вращения, длины дуги плоской кривой.
11. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования(несобственные интегралы 1-го рода), их свойства и вычисление. Абсолютная и условная сходимость.
12. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы 2-го рода). Сходимость.
13. Определение функции многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных (на примере функции двух переменных).
14. Частные производные первого порядка функции многих переменных. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.
15. Дифференцируемость функций многих переменных. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости. Полный дифференциал.
16. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование сложных функций. Полная производная
17. Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференцирование неявной функции многих переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
18. Производная по направлению. Градиент.
19. Формула Тейлора для функции многих переменных.
20. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
21. Условный экстремум функции многих переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции многих переменных в замкнутой области.
22. Определение двойного интеграла, основные свойства. Геометрический и физический смысл двойного интеграла.
23. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.
24. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
25. Приложения двойных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, объемов тел, массы плоской фигуры.
26. Определение тройного интеграла, основные свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.
27. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла вцилиндрических и сферических координатах.
28. Криволинейные интегралы 1-го рода, их свойства. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода в случае параметрического задания кривой интегрирования.
29. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода в случае явного задания кривой интегрирования. Вычисление КРИ-1 в случае представления кривой интегрирования в полярных координатах. Приложения КРИ-1.
30. Криволинейные интегралы 2-го рода, их свойства и вычисление.
31. Формула Остроградского-Грина.
32. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.
33. Поверхностные интегралы 1-го рода, их свойства и вычисление.
34. Поверхностные интегралы 2-го рода, их свойства и вычисление.
35. Скалярные и векторные поля. Поток векторного поля через ориентированную поверхность. Дивергенция. Поток векторного поля через замкнутую поверхность: формула Остроградского-Гаусса.
36. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса. Оператор Гамильтона.
37. Потенциальное векторное поле и его свойства. Необходимое и достаточное условие потенциальности. Потенциал векторного поля и его отыскание.
38. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши.
39. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
40. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.
41. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
42. Дифференциальные уравнения высших порядков, задача Коши. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка, методы их интегрирования.
43. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков, свойства их решений. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.
44. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.
45. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения: структура общего решения, принцип суперпозиции решений. Метод вариации произвольных постоянных.
46. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
47. Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Задача Коши, общее решение. Связь между нормальной системой n уравнений и дифференциальным уравнением порядка n.
48. Интегрирование линейных однородных и линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом исключения.