Содержание лекции: Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал функции, его приложения. Линеаризация функции. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производные функций, заданных неявно и параметрически. Производные высших порядков.
1. Задачи, приводящие к понятию производной
Задача о скорости: Пусть материальная точка М движется по прямой. Положение ее определяется расстоянием S, отсчитываемым от некоторой «начальной» точки О. Время движения t отсчитывается от некоторого начального момента (причем, совсем не обязательно, чтобы точка М в этот момент находилась в точке О). Очевидно, S есть функция времени t. Движение считается вполне заданным, если известно уравнение движения: S = f (t). Это уравнение называют законом движения точки.
Найдем мгновенную скорость точки М, т.е. ее скорость в заданный момент времени t. Придадим переменной t некоторое приращение D t и рассмотрим момент времени t + D t, когда точка окажется в положении М1.
Приращение пути ММ1 за промежуток D t обозначим DS, причем
DS = f (t +D t) – f (t).
Разделим обе части этого равенства на D t. Тогда 
есть средняя скорость v ср точки на участке ММ1, т.е. за промежуток времени D t: v ср = . Эта скорость меняется вместе с изменением D t, причем, чем меньше D t, тем лучше v ср характеризует скорость движения точки М в момент t. Исходя из этого, скоростью v точки в момент времени t (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость v ср при D t ® 0. Таким образом,
.
Следовательно, задача об отыскании мгновенной скорости точки сводится к вычислению предела отношения приращения пути к приращению времени, когда последнее стремится к нулю.
Задача о касательной. Прежде чем сформулировать задачу, дадим определение касательной. Рассмотрим кривую L, и пусть М – какая-либо точка этой кривой. Рассмотрим еще одну точку М1 кривой L и проведем секущую ММ1. Когда точка М1 будет перемещаться вдоль кривой L, приближаясь к М, секущая ММ1 будет менять свое положение и стремится к положению МТ.
Касательной к кривой L в точке М называется предельное положение секущей ММ1, когда точка М1 вдоль кривой стремится к точке М.
Из этого определения следует, что угол М1МТ стремится к нулю, когда к нулю стремится хорда ММ1.
Не всякая кривая в любой своей точке может иметь касательную:
 | |||||
 | |||||
 | |||||
Пусть непрерывная кривая L задана уравнением у = f (x), а М(х, у) – некоторая точка этой кривой. Имеет ли заданная кривая касательную в точке М?
Рассмотрим на этой кривой точку М1(х +D х; у + D у) и проведем секущую ММ1.
 |
Секущая образует с осью ОХ угол b. Из рисунка видно, что 
. Но когда D х ® 0, точка М1 вдоль кривой стремится к точке М, |MM1| ® 0, секущая ММ1 стремится занять положение касательной МТ, а Ð М1МТ® 0. При этом угол Ð b = Ða + ÐМ1МТ стремится к Ða. Значит,
.
Таким образом, чтобы ответить на вопрос, существует ли касательная к кривой у = f (x) в заданной точке М, нужно убедиться в существовании конечного или бесконечного предела отношения приращения функции f (x) к приращению аргумента в этой точке, при стремлении приращения аргумента к нулю.
Обе рассмотренные задачи привели к необходимости вычисления предела по существу одного и того же типа: отношения приращения одной величины к приращению другой, когда последнее стремится к нулю.
Поэтому есть смысл изучать подобные пределы, абстрагируясь от конкретной природы вопроса.