Для студентов ПИЭФ всех форм обучения экономических специальностей
Рекомендации по выполнению контрольной работы
Контрольная работа выполняется после изучения курса «Математика» высылается на проверку в институт в срок, указанный преподавателем.
Цель контрольной работы – закрепить теоретические и практические знания, полученные студентами на занятиях и в процессе самостоятельной работы с литературой; сформировать практические навыки проведения студентами математических расчетов.
Контрольная работа составлена в размере 16 заданий, каждое из которых имеет 10 вариантов. Номер варианта определяется по начальной букве фамилии обучающегося:
| Начальная буква фамилии студента | Номер варианта |
| А, Л, Х | |
| Б, М, Ц | |
| В, Н, Ч | |
| Г, О, Ш | |
| Д, П, Щ | |
| Е, Р, Э | |
| Ж, С, Ю | |
| З, Т, Я | |
| И, У | |
| К, Ф |
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради или на листах формата А4, с обязательным оформлением титульного листа.
При оформлении контрольной работы необходимо переписать условия каждого задания, записать решение, используя при этом необходимые формулы, дать краткое пояснение всех расчетов. Задания, в которых даны только ответы без необходимых пояснений и расчетов, не засчитываются.
В конце работы необходимо привести список использованной литературы, поставить свою подпись и дату.
Получив проверенную работу, следует внимательно изучить замечания и рекомендации преподавателя, проанализировать отмеченные ошибки и недостатки, внести необходимые дополнения и исправления.
Зачтенная работа предъявляется преподавателю на экзамене.
В случае затруднений в решении задач студенты могут обращаться за консультацией (письменной или устной) к преподавателю в институт.
Рекомендуемая литература
1. Красс М. С. Математика для экономических специальностей. М.: 1998.
2. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М.: 2001.
3. Карасев А. И. И др. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. М.: 1982.
4. Высшая математика для экономистов (под ред. Кремера Н. Ш.). М.: 2005.
5. Практикум по высшей математике для экономистов (под ред. Кремера Н. Ш.). М.: 2005.
6. Высшая математика. Общий курс (под ред. А. И. Яблонского). Минск:1993.
7. Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: 1985.
8. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: 1978.
9. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: 1993.
10. Замков О. О., Толстопятенко А. В., Черемных Ю. Н. Математические методы анализа экономики. М.: 1997.
11. Карасев А. И., Кремер Н. Ш., Савельева Т. И. Математические методы и модели в планировании. М.: 1987.
12. Архангельский Ю. С. и др. Межотраслевой баланс. Киев: 1988.
13. Терехов Л. Л. и др. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. Киев: 1984.
14. Калихман И. Л. Сборник по математическому программированию. М.: 1996.
Задание № 1. Даны вершины А (х1; у1), В (х2; у2), С (х3; у3) треугольника АВС. Требуется найти: А) уравнение стороны АС; Б) уравнение высоты, проведенной из вершины В; В) длину высоты, проведенной из вершины А; Г) величину угла В (в радианах); Д) уравнение биссектрисы угла В.
Варианты:
| 1. А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15). 2. А(-7; 2), В(5; -3), С(8; 1). 3. А(1; -15), В(6;-3), С(2; 0). 4. А(-8; 3), В(4; -2), С(7; 2). 5. А(6; 3), В(-10; -9), С(-3; 15). | 6. А(-9; 6), В(3; 1), С(6; 5). 7. А(20; 5), В(-4; 12), С(-8; 9). 8. А(-3; -7), В(2; 5), С(-2; 8). 9. А(10; 1), В(-6; 13), С(1; -11). 10. А(0; -9), В(5; 3), С(1; 6). |
Задание № 2. Даны вершины А1(х1; у1; z1), A2(х2; у2; z2), A3(х3; у3; z3), A4(x4; y4; z4). Средствами векторной алгебры найти: А) длину ребра А1A2; Б) угол между ребрами А1A2 и А1A3; В) площадь грани А1A2A3; Г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4; Д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины A4; Е) объем пирамиды А1A2A3A4.. Варианты:
| 1.А1(7; 0; 3), A2(3; 0; -1), A3(3; 0; 5), A4(4; 3; -2). 2.А1(1; -1; 6), A2(2; 5; -2), A3(-3; 3; 3), A4(4; 1; 5). 3.А1(3; 6; 1), A2(6; 1; 4), A3(3; -6; 10), A4(7; 5; 4). 4.А1(1; 1; 3), A2(6; 1; 4), A3(6; 4; 1), A4(0; 5; 6). 5.А1(4; 4; 5), A2(10; 2; 3), A3(-3; 5; 4), A4(6; -2; 2). | 6.А1(-1; 2; 5), A2(-4; 6; 4), A3(2; 1; 5), A4(-1; -2; 2). 7.А1(2; -1; 9), A2(1; 1; 5), A3(7; 3; 1), A4(2; 6; -2). 8.А1(1; -2; 2), A2(-1; -3; 4), A3(5; 5; -1), A4(2; -4; 5). 9.А1(1; 1; 3), A2(7; 1; 1), A3(2; 2; 2), A4(4; 1; -1). 10.А1(3; 1; 2), A2(5; 0; -1), A3(0; 3; 6), A4(3; 7; 10). |
Задание № 3. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Варианты:
1. 
| 2. 
| 3. 
| 4. 
| 5. 
|
6. 
| 7. 
| 8. 
| 9. 
| 10. 
|
Задание № 4. Решить 2 системы методом Гаусса и 1 систему матричным методом (в таблицах даны элементы расширенных матриц систем 4-х уравнений с 4-мя неизвестными). Варианты:
| 1. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9. |
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10. |
|
|
|
Задание № 5. Z1, Z2 – комплексные числа. Выполнить действия: А) Z1+ Z2; Б) Z1 × Z2; В) Z1/Z2.
Варианты:
| 1.Z1=5–4i; Z2=-1-i. | 2.Z1=-6+3i; Z2=2-i. | 3.Z1=3–2i; Z2=-45+i. | 4.Z1=4–3i; Z2=1-i. | 5.Z1=2–i; Z2=5-3i. |
| 6.Z1=3+2i; Z2=-3+4i. | 7.Z1=5–i; Z2=4-3i. | 8.Z1=6–2i; Z2=-1-4i. | 9.Z1=1–5i; Z2=-3+2i. | 10.Z1=5+2i; Z2=-3-2i. |
Задание № 6. Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.
Варианты:
| 1. Z=-1-2i. | 2. Z=-1-i. | 3. Z=1+2i. | 4. Z=3+i. | 5. Z=2+i. |
| 6. Z=1-i. | 7. Z=2-i. | 8. Z=4-3i. | 9. Z=3-2i. | 10. Z=2+2i. |
Задание № 7. Вычислить указанные пределы, не используя правило Лопиталя. Варианты:
| А) X0 = 1 | Б) X0 = 2 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 3 | Б) X0 = -1 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 3 | Б) X0 = 1 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 2 | Б) X0 = 1 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = -1 | Б) X0 = 1 | В) X0 = ¥ | |
 
| А) X0 = -2 | Б) X0 = 1 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 1 | Б) X0 = -1 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 2 | Б) X0 = 3 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = 3 | Б) X0 = -3 | В) X0 = ¥ | |
| А) X0 = -3 | Б) X0 = -2 | В) X0 = ¥ |
Задание № 8. Найти производные функций. Варианты:
| 1. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 2. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 3. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 4. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 5. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 6. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 7. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 8. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
| 9. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г)
|
| 10. | А)  ; В)  ;
| Б)  ; Г) 
|
Задание № 9. С помощью дифференциала найти приближенное значение функции. Варианты:
| 1.А)ln0.97; Б)cos29o. | 2.А)ln7.02; Б)sin310 | 3.А)ln7.201; Б)sin260 | 4.А)ln0.891; Б)sin420 | 5.А) ln1.07; Б)sin490 |
| 6.А)ln0.13; Б) sin610 | 7.А) ln1.34; Б)sin320 | 8.А)ln1.008; Б)sin480 | 9.А) ln6.986;Б)sin410 | 10.А)ln1.218;Б)sin330 |
Задание № 10. Для функции z=f(x,y) найти частные производные первого и второго порядков.
Варианты:
1. 
| 2. 
| 3. 
| 4. 
| 5. 
|
6. 
| 7. 
| 8. 
| 9. 
| 10. 
|
Задание № 11. Вычислить неопределенные интегралы. Варианты:
| 1. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 2. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 3. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 4. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 5. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 6. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 7. | А)  ;
| Б)  ;
| В) 
|
| 8. | А)  ;
| Б)  ;
| В) 
|
| 9. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
| 10. | А)  ;
| Б)  ;
| В)  .
|
Задание № 12. Решить задачи комбинаторики. Варианты:
1. Герман из повести А. С. Пушкина «Пиковая дама» вынимает 3 карты из колоды в 52 листа. Найдите вероятность того, что это будут: тройка, семерка, туз.
2. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара.
3. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано 5 номеров в очередном тираже?
4. В партии из 10 деталей имеются 4 бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 деталей окажутся 2 бракованные?
5. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?
6. Коллектив, включающий четырех женщин и троих мужчин, разыгрывает 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
7. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 билетов. Определите вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.
8. В урне 6 белых, 4 черных и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают 5 шаров. Найдите вероятность того, что среди них окажутся 2 белых и 1 черный шар.
9. Юноша забыл две последние цифры телефонного номера своей знакомой и, помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что номер будет набран правильно?
10. В классе 10 учебных предметов и 5 разных уроков в день. Сколькими способами могут быть распределены уроки в один день?
Задание № 13. Межотраслевой балансовый метод. Постановка задачи: машиностроительное предприятие состоит из трех цехов, каждый из которых выпускает определенный тип продукции. По данным за отчетный год построен баланс производства и распределения продукции в денежном выражении. Схема балансовой модели представлена в таблице № 1, где каждый цех рассматривается с двух сторон: как производитель продукции (строка таблицы) и как потребитель продукции (столбец таблицы).
Таблица № 1
| Наименование показателей | Внутрипроизводственное потребление по цехам | Внутризаводской оборот | Товарная продукция | Валовой оборот | ||
| № 1 | № 2 | № 3 | ||||
| Цехи № 1 | Х11 | Х12 | Х13 | У1 | Х1 | |
| № 2 | Х21 | Х22 | Х23 | У2 | Х2 | |
| № 3 | Х31 | Х32 | Х33 | У3 | Х3 | |
| Сырье и основные материалы, тыс. руб. | М1 | М2 | М3 | |||
| Затраты труда, тыс. нормо-час. | Т1 | Т2 | Т3 |
Таким образом, в каждом столбце балансовой модели показаны затраты деталей узлов и узлов собственного производства, покупных материалов, сырья и трудовые затраты.
Строки модели показывают, где используется продукция каждого цеха (т. е. в какой цех поступает и сколько идет на реализацию).
На следующий год планируется выпуск товарной продукции первого цеха увеличить на 50 %, а остальных цехах оставить без изменения. Рассчитать следующие показатели:
коэффициенты прямых материальных; коэффициенты полных затрат и коэффициенты косвенных затрат; сбалансированные объемы производства в каждом цехе (валовый оборот), исходя из запланированного объема конечной продукции; трудовые затраты в каждом цехе на плановый период; затраты сырья и материалов на плановый период; величины материальных потоков между цехами; на основе полученных значений показателей построить баланс производства и распределения продукции на плановый период (представить в виде таблицы № 1) и проверить выполняется ли основное соотношение баланса.
Для каждого варианта необходимо взять из таблицы № 2 три строки, указанные в номере варианта, добавить к ним строку с затратами сырья и материалов и строку с затратами труда. Информацию выбранных строк записать в виде таблицы № 1.
Таблица № 2
| Наименование показателей | Внутрипроизводственное потребление по цехам | Внутризаводской оборот | Товарная продукция | Валовой оборот | ||
| № 1 | № 2 | № 3 | ||||
| 1. | ||||||
| 2. | ||||||
| 3. | ||||||
| 4. | ||||||
| 5. | ||||||
| 6. | ||||||
| 7. | ||||||
| 8. | ||||||
| 9. | ||||||
| 10. | ||||||
| Сырье и основные материалы, тыс. руб. | ||||||
| Затраты труда, тыс. нормо-час. |
Варианты (номер варианта и номера строк таблицы):
| 1.1, 3,5. | 2.2, 7, 10. | 3.1, 4, 7. | 4.3, 6, 9. | 5.2, 5, 8. |
| 6.2, 4, 6. | 7.3, 8, 9. | 8.2, 5, 8. | 9.1, 8, 10. | 10.3, 7, 10. |
Задание № 14. Оптимальное планирование (симплексный метод). Постановка задачи: предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимыми для производства любого из трех видов производимых товаров 1, 2, 3. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товаров; прибыль, получаемая от реализации единицы товара, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:
Таблица № 3
| Вид ресурса | Затраты ресурса на единицу товара | Запас ресурса | ||
| Сырье, кг. | а11 | а12 | а13 | В1 |
| Рабочая сила, ч. | а21 | а22 | а23 | В2 |
| Оборудование, станко-час. | а31 | а32 | а33 | В3 |
| Прибыль, руб. | Р1 | Р2 | Р3 |
Определить, какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.
Исходную информацию можно представить в виде векторов и матрицы:
А = (аij) = 
- матрица затрат ресурсов на единицу продукции. В = 
- вектор запаса ресурсов сырья, рабочей силы и оборудования. Р = 
- вектор прибыли от единицы товара 1, 2, 3. Варианты:
| 1. | А = 
| В = 
| Р = 
| 6. | А = 
| В = 
| Р = 
|
| 2. | А = 
| В = 
| Р =
| 7. | А = 
| В = 
| Р = 
|
| 3. | А = 
| В = 
| Р = 
| 8. | А = 
| В =
| Р = 
|
| 4. | А = 
| В = 
| Р =
| 9. | А = 
| В = 
| Р = 
|
| 5. | А = 
| В = 
| Р = 
| 10. | А = 
| В = 
| Р = 
|
Информацию записать в виде таблицы № 3. построить модель. Решить симплексным методом. Проанализировать полученный результат.
Задание №15. Графический метод. Постановка задачи: для изготовления двух видов продукции имеются три вида ресурсов, объемы которых ограничены величинами b1, b2, b3 соответственно. Расход i -го вида ресурса на изготовление одной единицы j -го вида продукции равен aij, i=1, 2, 3, j=1, 2. Объем выпуска каждого из видов продукции ограничен числом x*1 и x*2 единиц, а прибыль, получаемая от реализации одной единицы изготовленной продукции равна c1 и c2 соответственно. Данные задачи могут быть представлены в матрично-векторном виде
A = 
, b = 
, x* = (
), c = (c1; c2), или в форме таблицы:
| Номер ресурса | Объем ресурса (запас) | Номер продукции | |
| b1 | 
| 
| |
| b2 | 
| 
| |
| b3 | 
| 
| |
| Ограничения по выпуску | x*1 | x*2 | |
| Прибыль | c1 | c2 |
Требуется составить план выпуска продукции (число единиц продукции по каждому виду), удовлетворяющий принятым ограничениям и приносящий максимум прибыли после реализации выпущенной продукции.
Варианты:
1.A =  , b =  , x* = ( ), c = (7;2).
| 2.A =  , b =  , x* = ( ), c = (1;9).
|
3.A =  , b =  , x* = ( ), c = (5;6).
| 4.A =  , b =  , x* = ( ), c = (7;6).
|
5.A =  , b =  , x* = ( ), c = (3;6).
| 6.A =  , b =  , x* = ( ), c = (8;6).
|
7.A =  , b =  , x* = ( ), c = (3;6).
| 8.A =  , b =  , x* = ( ), c = (1;8).
|
9.A =  , b =  , x* = ( ), c = (2;7).
| 10.A =  , b =  , x* = ( ), c = (9;7).
|
Задание № 16. Транспортная задача.
Постановка задачи: на складах А1, А2, А3 имеются запасы продукции в количествах 180, 300, 120 т. соответственно. Потребители В1, В2, В3 должны получить эту продукцию в количествах 110, 350, 140 т. соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки была бы минимальной. Расходы по перевозке 1 т. продукции заданы матрицей С (ден. ед.)
Варианты:
1.С = 
| 2.С = 
|
3.С = 
| 4.С = 
|
5.С = 
| 6.С = 
|
7.С = 
| 8.С = 
|
9.С = 
| 10.С = 
|