Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неизвестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:

(5.1)

при этом, если правая часть уравнения (5.1) равна нулю, то такое уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, если правая часть не равна нулю, то такое уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

и - функции непрерывные на некотором промежутке .

5.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Рассмотрим методы нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка вида

Для этого типа дифференциальных уравнений разделение переменных не представляет сложностей.

Общее решение:

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Для интегрирования линейных неоднородных уравнений ( ) применяются в основном два метода: метод Бернулли и метод Лагранжа.

5.3. Метод Бернулли.

Суть метода заключается в том, что искомая функция представляется в виде произведения двух функций .

При этом очевидно, что - дифференцирование по частям.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Далее следует важное замечание – так как первоначальная функция была представлена нами в виде произведения, то каждый из сомножителей, входящих в это произведение, может быть произвольным, выбранным по нашему усмотрению.

Например, функция может быть представлена как , и т.п.

Таким образом, можно одну из составляющих произведение функций выбрать так, что выражение .

Таким образом, возможно, получить функцию u, проинтегрировав, полученное соотношение как однородное дифференциальное уравнение по описанной выше схеме:

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим поученное выражение для функции u в исходное уравнение с учетом того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

Интегрируя, можем найти функцию v:

Т.е. была получена вторая составляющая произведения , которое и определяет искомую функцию. Подставляя полученные значения, получаем:

Окончательно получаем формулу:

, - произвольный коэффициент.

Это соотношение может считаться решением неоднородного линейного дифференциального уравнения в общем виде по способу Бернулли.

Пример 1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение. Полагаем и . Подставляем в уравнение , то есть . Полагаем и решаем уравнение .

Разделив переменные ,

интегрируя, находим , следовательно .

Постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти какое-либо решение этого вспомогательного уравнения.

Теперь решаем уравнение для определения u:

, то есть

Итак, общее решение данного уравнения есть ,

то есть .

5.4. Метод Лагранжа

Метод Лагранжа решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной постоянной.

Вернемся к поставленной задаче:

Первый шаг данного метода состоит в отбрасывании правой части уравнения и замене ее нулем.

Далее находится решение получившегося однородного дифференциального уравнения:

Для того, чтобы найти соответствующее решение неоднородного дифференциального уравнения, будем считать постоянную некоторой функцией от х.

Тогда по правилам дифференцирования произведения функций получаем:

Подставляем полученное соотношение

Из этого уравнения определим переменную функцию :

Интегрируя, получаем:

Подставляя это значение в исходное уравнение, получаем:

Таким образом, мы получили результат, полностью совпадающий с результатом расчета по методу Бернулли.

При выборе метода решения линейных дифференциальных уравнений следует руководствоваться простотой интегрирования функций, входящих в исходный интеграл.

Далее рассмотрим примеры решения различных дифференциальных уравнений различными методами и сравним результаты.

Пример 1. Решить уравнение