Перечень теоретических вопросов.
Вопрос 1.
1. Определение функции нескольких переменных. Область определения.
2. Частные производные функций двух действительных переменных. Дифференциалы.
3. Двойные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным в случае областей 1 и 2 типа.
4. Определение числового ряда, сумма ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов.
5. Признаки сравнения числовых рядов.
6. Признаки сходимости Даламбера и Коши.
7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и относительная сходимости.
8. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
9. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
10. Разложение элементарных функций в степенной ряд.
11. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решения.
12. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
13. Однородные дифференциальные уравнения.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения.
15. Дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
16. Определение комплексного числа в алгебраической форме. Геометрическое изображение комплексных чисел.
17. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
18. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
19. Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от одной формы комплексного числа к другой.
20. Показательная форма комплексного числа. Тождество Эйлера.
21. Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах. Формула Муавра.
22. Статистическое определение вероятности случайной величины.
23. Классическое определение вероятности события.
24. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
25. Формула полной вероятности.
26. Испытания Бернулли.
27. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины.
28. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
29. Непрерывная случайная величина. Особые случаи непрерывных случайных величин: нормальное распределение, равномерное распределение.
Перечень типовых заданий.
Функции нескольких переменных.
1. Найдите значение функции 
в точке 
:
а) 
, 
, б) 
, 
.
2. Найдите область определения функции:
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Найдите частные производные функций:
а) 
, б) 
, в) 
.
4. Для функций из задания № 3 напишите полные дифференциалы.
5. Вычислите интегралы:
а) 
, где 
,
б) 
, где 
.
Дифференциальные уравнения.
1. Найдите частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
а) 
, где 
,
б) 
, где 
,
в) 
, где 
,
2. Решите однородное дифференциальное уравнение:
а) 
, б) 
, в) 
.
3. Решите линейное дифференциальное уравнение:
а) 
, б) 
, в) 
.
4. Решите дифференциальное уравнение второго порядка:
а) 
, б) 
, в) 
.
5. Решите линейное уравнение второго порядка:
а) 
, б) 
, в) 
.
Числовые и функциональные ряды.
1. Исследовать ряд на сходимость.
а) 
, б) 
, в) 
.
2. Найти интервал сходимости ряда:
а) 
, б) 
.
3. Используя формулы разложения функций в степенные ряды, найдите приближенные значения выражений:
а) 
, б) 
Комплексные числа.
1. Выполните действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а)) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
.
2. Выполните действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах:
а) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
,
д) 
.
е) 
, ж) 
, з) 
.
3. Решите квадратное уравнение:
а) 
, б) 
Элементы теории вероятности и математической статистики.
1. Решите задачи:
а) В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.
б) В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым)?
в) В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
г) На складе находятся 26 деталей, из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
д) В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта?
е) Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика.
ж) Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.
з) Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х
| X | ||||
| P | 0.31 | 0.1 | 0.29 | 0.3 |
Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, используя формулы для их определения.