Статистические свойства элементов.

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ

ПРОЕКТНО-КОНСТРУКТОРСКОГО НОРМАТИВА (ПКН)

Чтобы удовлетворить требованиям вероятностного норматива (ВН) для объекта, для которого существует проблема ЭМС, необходимо принять меры по его защите с помощью помехозащитных средств (ПЗС). Допустим, нам известна статистическая характеристика ПЗС, ЭМО или других ограничительных условий. Тогда возникает вопрос о том, как методически определить численные значения параметров ПЗС и выбрать конкретные типы элементов ПЗС.

Для ответа на этот вопрос надо вначале рассмотреть методы статистического моделирования.

Статистические свойства элементов.

Представляется очевидным, что все без исключения элементы любых систем обладают разбросом характеристик. Помехозащитные свойства системы, собранной из элементов, существенно зависят от разброса характеристик элементов. Например, при большом разбросе геометрических размеров строительных панелей возникают затруднения в монтаже жилых домов, прочность соединений панелей между собой уменьшается, надежность строительства дома падает. Этот пример можно распространить на любой объект (механический, электрический и др.). Поэтому актуальны методы обеспечения надежности при проектировании технических объектов.

Но прежде чем изучать эти методы, необходимо рассмотреть получение статистического отображения элементов в виде числовых характеристик и математических моделей.

Под термином «модель» будем понимать результат отображения свойств элемента (объекта).

Результат измерения любого параметра объекта является случайной величиной. Например, если выполнить замеры наружных диаметров подшипников высокоточным инструментом, то результаты с высокой вероятностью окажутся различными. Что такое «случайная величина»?

Случайная величина (СВ) – это такая величина, которая в опыте может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Примеры СВ: рост человека; параметр любого элемента электронной системы, в частности, коэффициент усиления транзистора, прямое падение напряжения на диоде; характеристики помехи, в частности, вызванной молниевым разрядом, и т.д.

Различают непрерывную (принимает любое численное значение) и дискретную (принимает счетное (целочисленное) число значений) СВ.Примеры непрерывных СВ: рост человека, напряжение помехи, ток молнии и т.д. Примеры дискретных СВ: число вызовов на телефонную станцию, число пассажиров в вагоне метро, число студентов на занятиях.

Как изучать СВ? Рассмотрим примеры. 1) Чтобы сделать анализ крови, обычно не выкачивают всю кровь из человека, а берут каплю, и по этой капле делают выводы о состоянии полного объема крови. 2) Во Франции предпринято исследование антропометрических характеристик населения (площадь 547030 кв.км, 59551000 чел., продолжительность жизни 75 лет (мужчины), 83 (женщины). Для этого из 59551000 чел. в обследовании приняли участие 15000 чел., и на них получили необходимые статистические характеристики.

Из приведенных примеров следует, что вся кровь в человеке, все французы – это генеральная совокупность. Генеральная совокупность есть некоторая математическая идеализация, означающая очень большой статистический коллектив, условно принимаемый за бесконечность.

Выборка (капля крови, французы, принявшие участие в антропометрическом обследовании) – часть генеральной совокупности.

Чтобы была возможность принимать решения по совместимости сопрягаемых элементов при проектировании систем, необходимо извлечь устойчивости из изменчивых СВ. Устойчивым в изменчивости СВ является закон распределения СВ с числовыми характеристиками. Но для определения закона распределения СВ необходимо сделать опыты (наблюдения) с фиксацией значений СВ. Возникает вопрос: какой должен быть объем выборки (сколько опытов следует произвести)? Общий ответ на этот вопрос дает закон больших чисел, а конкретный ответ – моделирование методом Монте-Карло, которое будет рассмотрено позднее. По данным, полученным в результате моделирования методом Монте-Карло, погрешность параметров искомой статистической модели (закона распределения СВ) быстро снижается с ростом числа наблюдений до 300-350, при дальнейшем увеличении числа наблюдений погрешность изменяется значительно слабее. С точки зрения доверительного оценивания такое число наблюдений обеспечивает высокую доверительную вероятность при незначительном доверительном интервале.

Разумеется, цена наблюдения СВ в различных задачах может существенно варьироваться, и указанный выше объем наблюдений (выборки из генеральной совокупности) по экономическим или иным причинам не всегда можно обеспечить. Тогда точность параметров статистической модели будет снижена.

Рассмотрим далее вопрос о переходе от наблюдений за СВ к математической модели, описывающей распределение СВ, т.е к закону распределения СВ.

Алгоритм действий следующий:

1. Размещение наблюдений за СВ в виде таблицы.

2.

Рис.1

3. Разделить размах на разряды, используя формулу k= , где k –число разрядов, N – объем наблюдений (объем выборки).

4. Определить ширину разряда по формуле ∆х=(х_макс-х_мин)/k.

5. Определить границы разрядов, прибавляя последовательно ∆х к значению х_мин.: х_мин.+ ∆х, (х_мин.+ ∆х)_.+ ∆х, …, х_макс

6. Нанести на бумагу горизонтальную числовую ось, разбив ее на k отрезков, отображающих разряды, указать найденные в п.5 численные границы разрядов.

7. Построить гистограмму (рекомендуется использовать декадные фигуры при занесении данных из таблицы в разряды; на рис.2 в увеличенном масштабе показана декада (10 попаданий СВ на интервал разряда, ограниченный значениями х_i-1 и х_i) и часть декады (8 попаданий СВ на интервал разряда, ограниченный значениями х_i и х_i+1)

Рис.2

8. По форме полученной гистограммы, являющейся по сути эмпирическим законом СВ, определить подходящий известный закон распределения СВ, используя для этого справочную литературу по теории вероятностей и математической статистике (например, учебник Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М., Академия, 2003 г.), взять математическое описание этого закона и используемые в этом законе числовые характеристики. Например, для нормального закона такими числовыми характеристиками являются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ.

9. Используя известные формулы, по данным таблицы наблюдений или приближенно из гистограммы определить численные значения характеристик распределения.

10. Проверить адекватность выбранного закона распределения СВ с данными наблюдений, используя критерии согласия, например, χ².

11. Если по критерию согласия выбранный закон распределения СВ не противоречит данным наблюдений, полученное описание можно считать математической моделью распределения интересующей нас СВ объекта (элемента).

В таблице (см.ниже) приведены данные измерений отклонений напряжения стабилизированных источников питания от заданного уровня (обследовалось 200 источников с подключением максимально допустимой нагрузки). Цель исследования – оценка качества вторичных стабилизированных источников питания.

Используя приведенную выше методику (п.п. 1-7), построить гистограмму изменения случайной величины - отклонений напряжения стабилизированных источников питания от заданного уровня.

Литература

1. Костроминов А.М. Защита устройств железнодорожной автоматики и телемеха­ники от помех. - М.: Транспорт, 1995. - 192 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М., Академия, 2003. - 576 с.

Таблица. Протокол измерений отклонений напряжения стабилизированных источников питания от заданного уровня (в мВольтах) (обследовалось 200 источников с подключением максимально допустимой нагрузки).

Размах СВ от - 20 мВ до 30 мВ. Примем для упрощения интервал 5 мВ, тогда число интервалов будет равно 10:

-20 __ -15__ -10 __ -5 __ 0 __ +5 __ +10 __ +15 __ +20 __ +25 __ +30

(Расчетные значения m_x=4,3мВ; σ_х=9,5 мВ)