УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО КОНТРОЛЯ
Номер вариантаопределяется по последней цифре номера зачетной книжки.
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1. Заданы два множества А и В (см. таблицу). Определить множества АÈВ, АÇВ, А\В, В\А, А∆В.
| Вариант | Множество А | Множество В |
| {1, 5, 7, 11} | {5, 9, 11, 15} | |
| {1, 3, 5, 7, 11} | {3, 5, 9} | |
| {2, 4, 6, 9} | {1, 2, 3, 6} | |
| {4, 6, 10, 16} | {6, 10, 12, 18} | |
| {4, 6, 10, 12} | {4, 8, 12, 16} | |
| {1, 3, 5, 9} | {3, 5, 7, 11, 13} | |
| {2, 4, 9, 13} | {4, 6, 9} | |
| {1, 3, 9, 11} | {2, 3, 5, 6, 7} | |
| {2, 4, 8, 12} | {3, 4, 5, 8, 10} | |
| {1, 3, 6, 8} | {3, 4, 5, 6} |
2. По данным промежуткам А и В (см. таблицу) на числовой прямой, определить множества АÈВ, АÇВ, А\В, В\А, А∆В.
| Вариант | Множество А | Множество В |
| (0; 3] | (3; 6) | |
| [0; 5) | [1; ¥) | |
| (0; 3) | [1; 4] | |
| [2; ¥) | (1; 7] | |
| (–6; –3] | [–5; –1) | |
| [–4; –0,5) | (–¥; –2) | |
| (–¥; 1] | (–2; ¥) | |
| [–6; 7] | (0; 10) | |
| (–6; 2] | [–2; 3] | |
| (0; 2) | [1; 5) |
КОМБИНАТОРИКА
| вариант | задача |
| Сколько существует семизначных чисел, не содержащих цифру 7? | |
| Автомобильные номера содержат три буквы и пять цифр, например, Р502ВВ77. Сколько может быть различных автомобильных номеров такого вида? | |
| Сколько имеется способов проставить оценки четырем студентам так, чтобы все они получили разные отметки? | |
| В городе 10 музеев. Турист решил их все посетить, но никак не может решить в каком порядке это сделать. Сколько у него вариантов? | |
| Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеются материалы шести различных цветов? | |
| 25 шахматистов проводят турнир. Его исходом считается указание того, кто занял первое место, кто – второе и кто – третье. Сколько исходов может иметь турнир? | |
| Сколько существует пятизначных чисел, у которых цифры убывают, например, как у числа 76310? | |
| Предлагается тест из 10 вопросов. Известно, что на половину вопросов следует ответить «да», на другую половину – «нет». Сколькими способами можно ответить на вопросы теста при данном условии? | |
| Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»? | |
| Из 20 бусин различного цвета собирают ожерелье. Сколькими различными способами можно расположить на нем бусины? |
ОСНОВЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Вариант 1.
1. Из урны с 7 красными и 3 синими шарами берут наугад 5 шаров. Какова вероятность того, что все взятые шары окажутся красными?
2. Из ящика, в котором лежат 3 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров, наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что выбранные шары не будут одного цвета?
Вариант 2.
1. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превзойдет 6.
2. Из партии в 100 деталей, содержащей 5 % брака, берут для проверки 5 деталей. Партия принимается, если среди проверяемых не более одной бракованной детали. Найти вероятность приема партии.
Вариант 3.
1. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что 2 очка не выпадут ни на одной кости.
2. Из урны, содержащей 6 белых и 6 черных шаров, наугад берут 4 шара. Какова вероятность того, что белых шаров окажется больше, чем черных?
Вариант 4.
1. В урне лежит 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Найти вероятность того, что среди взятых шаров 3 будут иметь четные номера.
2. Из урны с 4 белыми, 2 синими и 5 черными шарами берут наугад 4 шара. Какова вероятность того, что взятых больше половины шаров окажутся черными?
Вариант 5.
1. Колода из 36 карт раскладывается случайным образом на две части поровну. Какова вероятность того, что все тузы будут в одной части?
2. В партии 30 деталей, из них 5 нестандартных. Наугад взято 4 детали. Какова вероятность того, что среди взятых деталей более двух стандартных?
Вариант 6.
1. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Помня лишь, что все цифры различны, он набирает их наугад. Какова вероятность того, что будут набраны нужные цифры?
2. Из колоды в 32 карты наугад берут 3 карты. Какова вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одну масть?
Вариант 7.
1. Имеются 4 ящика, в которые наугад бросают шарики. Всего шариков 4. Какова вероятность того, что все шарики окажутся в одном ящике?
2. В лотерее 30 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность получить более одного выигрышного билета, взяв наудачу 4 билета?
Вариант 8.
1. 6 студентов условились ехать в одном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что все поедут в одном вагоне, если в поезде 10 вагонов?
2. Из партии в 60 деталей, содержащей 5 % брака, наугад выбирают 3 детали. Какова вероятность того, что в выборку попадет не более одной бракованной детали?
Вариант 9.
1. Телефонный номер содержит 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры различны?
2. В ящике лежат 16 лампочек, из которых 6 перегоревших. Наугад берут 4 лампочки. Какова вероятность того, что взятые лампы окажутся хорошими?
Вариант 10.
1. Из урны, содержащей 4 синих, 3 красных и 2 зеленых шара, наугад выбирают 2 шара. Какова вероятность выбрать 2 шара одного цвета?
2. Из колоды в 52 карты наугад берут 4 карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт не меньше двух тузов?
Перечень вопросов к экзамену
1. Система, структура, субстанция.
2. Связь структуры с субстанцией. Модель, оригинал, структурная модель.
3. Современное определение предмета математики по Бурбаки. Понятие изоморфизма. Концепция математики по Колмогорову.
4. Характерные черты математики.
5. Математика и действительность. Моделирование, математические модели действительности. Числа, фигуры, множества как примеры математических моделей.
6. Процесс создания понятия натурального числа, этапы этого процесса как этапы конструирования математической модели реального явления.
7. Развитие геометрических понятий. Евклидова и не евклидовы геометрии как примеры математических моделей реального пространства.
8. Основные этапы развития математики.
9. Зарождение математики. Три основных понятия математики.
10. Математика постоянных величин (элементарная математика). Дедуктивный метод. Математические исследования в Европе, Индии и арабском мире.
11. Математика переменных величин, основные понятия и идеи математического анализа.
12. Современный период развития математики, характерные черты современной математики и направления её развития.
13. Виды абстракций в математике. Особенности математической абстракции по сравнению с абстракциями в иных науках (например, лингвистики).
14. Идеализация и её роль в математике и других науках (привести примеры идеализации).
15. Отождествление в математике и других науках (привести примеры отождествления).
16. Потенциальная и актуальная осуществимость (на примере потенциальной и актуальной бесконечности); возможные применения.
17. Аксиоматический метод, его сущность. Примеры применения аксиоматического метода в языкознании или других областях.
18. Понятие множества, способы задания множества. Чёткие и нечёткие, конечные и бесконечные множества (примеры).
19. Отношения между множествами. Основные операции над множествами.
20. Разбиение множества на классы. Классификация.
21. Численность конечных множеств. Число элементов объединения и разности двух конечных множеств.
22. Бинарные отношения, свойства отношений. Отношения эквивалентности, порядка и толерантности.
23. Комбинаторика и множества. Понятие факториала.
24. Размещения, размещения с повторениями.
25. Перестановки, перестановки с повторениями.
26. Сочетания.
27. Понятие события, случайные события. Понятие вероятности, вероятность элементарного события.
28. Субъективное определение вероятности, его использование.
29. Классическое определение вероятности.
30. Статистическое определение вероятности.
31. Условная вероятность. Зависимые события.