По линейной алгебре и аналитической геометрии

Г. А. Емельяненко

 

 

КУРСОВОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

 

По линейной алгебре

 

И аналитической геометрии

 

 

Методическое пособие

 

 

Дубна, 1999

ББК 22.151.5я73

 

Е60-1

 

Рекомендовано к изданию методическим советом университета «Дубна» в качестве методического пособия дпя студентов университета «Дубна»

 

Емельяненко Г.А.

 

Е 60-1Курсовое проектирование по линейной алгебре и аналитической геометрии. Методическое пособие.— Дубна: Международный университет природы, общест­ ва и человека «Дубна», 1999.— 32 с.

ISBN 5—89847—019—0

 

Настоящее методическое пособие содержит необходимые теоретические сведения по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии, помогающие студентам е выпол­ нении курсовой работы на тему «Исследование кривых и поверхностей второго порядках.

 

Студенты университета «Дубна» выполняют данную курсовую работу в первом се­ местре, используя современные компьютерные технологии.

В приложении приведен образец выполнения курсовой работы.

 

Рецензенты:

 

ст.преподаватели кафедры высшей математики Л.В.Бобылева и Л.С.Брюхина

 

Редактор: В. Г. Черепанова

 

Технический редактор: Г.А.Володина

 

 

ЛР № 040863 от 16.12.97 г.

 

Рукопись поступила 16.09.99. Подписано в печать 05.11.99 Формат 60x84/16. Компьютерная верстка. Гарнитура «Times» Печать офсетная. Усл. печ. л. 2 Тираж 150 экз. Заказ № 59S

 

Отпечатано в Дубненской типографии Упрполиграфиздата г.Дубна, ул. Курчатова, 2а. Тел. 4-03-26, 4-73-03

 

© Г.А. Емельяненко, 1999

 

ISBN 5—89847—019—0

 

 

© Международный университет природы,

 

общества и человека «Дубна», 1999

Введение

 

Целью курсовой работы по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему «Исследование кривых и поверхностей второго порядка», выполняемой студен­ тами первого курса университета «Дубна» в первом семестре, является закрепление и углубление полученных теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка и их сечений.

 

Для эффективного достижения поставленной цели в работе использована стра­ тегия, которую условно можно назвать «комбинированным анализом». Суть такого подхода заключается в использовании как техники алгебраических преобразований (выделение полных квадратов, поворот осей и перенос начала координат) при переходе от общей алгебраической формы записи уравнений кривых и поверхностей второго по­ рядка к их каноническим эквивалентам, так и в применении комбинаторного анализа (на основе свойств инвариантов) при восстановлении алгебраической формы уравнений указанных геометрических объектов по их каноническому виду.

 

При этом достигается возможность максимальной самостоятельности студента в выборе (генерации) «уровня сложности» своей курсовой работы, а также в демонстра­ ции своих математических, программистских и системных знаний. Это, в свою оче­ редь, дает возможность преподавателям оценить реальный уровень подготовки студен­ та по всему кругу вопросов, связанных с курсовой работой.

 

§1. Кривые второго порядка, их инварианты и классификация

 

1°. Общий вид уравнений кривых второго порядка в декартовой системе коорди­ нат хОу на плоскости:

 

где А, В, С,..., F — вещественные числа.

 

2°. Величины, не меняющиеся при переносе начала и повороте осей системы коор­ динат (инварианты):

 

 

Инвариант (а иногда ) называют дискриминантом уравнения (1).

 

Величина является инвариантом только относительно поворота осей координат.

 

3°. Связь инвариантов с — корнями характеристического уравнения:

 

 

4⁰. Классификация кривых второго порядка с использованием инвариантов (тип кривой в зависимости от значений инвариантов).

Таблица 1

6. Канонический вид уравнений некоторых кривых второго порядка. (Связь параметров кривых с инвариантами и характеристическими числами.)

 

Таблица 2

Полярная система координат:

 

— полярный радиус,

 

— полярный угол.

 

§2. Поверхности второго порядка, их инварианты и классификация

 

1 ⁰. Общий вид уравнения поверхности второго порядка:

 

 

2. Величины, не меняющиеся при переносе начала и повороте осей координат (инварианты).

 

Для любого уравнения (1) следующие четыре величины являются инвариантами относительно параллельного переноса и поворота осей. Эти инварианты определяют свойства поверхности, не зависящие от ее положения в пространстве. Де­ терминант называется дискриминантом уравнения (1).

Варианты заданий для курсовой работы по линейной алгебре и аналитической геометрии

 

Вариант I

 

Задание 1. Для данного канонического уравнения кривой второго порядка:

 

1. Вычислить инварианты.

 

2. С помощью найденных инвариантов получить общее уравнение данной кривой.

 

3. Применяя преобразования параллельного переноса и поворота привести полученное общее уравнение кривой к каноническому виду.

 

4. Построить кривую в канонических и общих декартовых координатах.

 

 

Задание 2. Для данного уравнения поверхности второго порядка:

 

1. Определить тип поверхности (с помощью инвариантов).

 

2. Привести уравнение к каноническому виду.

 

3. Исследовать форму поверхности методом сечений.

 

4. Построить поверхность в канонической системе координат.

 

 

Вариант II

 

Задание 1. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

 

1. С помощью инвариантов определить зависимость типа кривой от

 

2. При привести данное уравнение кривой к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота. Построить кривую в канониче­ ской системе координат.

 

3. При нескольких значениях параметра построить кривые, определяемые данным уравнением.

 

Задание 2. Для данного уравнения поверхности второго порядка:

 

1. Определить тип поверхности (с помощью инвариантов).

 

2. Привести уравнение к каноническому виду.

 

3. Исследовать форму поверхности методом сечений.

 

4. Построить поверхность в канонической системе координат.

 

Примечание:

 

1. Структура курсовой работы:

 

- титульный лист,

 

- оглавление,

 

- задания (постановка задачи),

 

- выполнение заданий (аналитическая часть и графические иллюстрации),

 

- выводы (анализ полученных результатов),

 

- список литературы,

 

- дата и подпись исполнителя.

 

1. Студент обязан выдерживать график выполнения курсовой работы (сроки выполнения от­ дельных заданий и оформления работы), согласованный с руководителями.

 

2. Руководителями курсовой работы могут быть выданы дополнительные задания.

 

3. При выполнении графической части работы рекомендуется проиллюстрировать все основ­ ные случаи.

 

Например:

 

а) при выполнении задания 1 варианта II следует построить кривые всех возможных типов для данного уравнения с параметром; б) при исследовании формы поверхности методом сечений в задании 2 следует построить

 

сечения координатными плоскостями и несколькими параллельными им плоскостями.

 

Курсовые задания могут включать в себя задачи:

 

Задача 1. Анализ кривых второго порядка.

 

Пусть задана на плоскости одна из кривых второго порядка своим каноническим

 

уравнением в соответствии с табл. 2 из §1.

 

1°. Учитывая соотношения, которым удовлетворяют инварианты этой кривой, т.е. уравнение (1) и равенства (2) из §1, получить алгебраическую форму (1) уравнения

 

выбранной кривой.

 

2. Выполнить переход от полученного алгебраического уравнения к его каноническо­

 

му эквиваленту в соответствии с формулами (4) — (8) из § 1.

 

3°. Выполнить анализ особенностей этих двух преобразований.

 

4°. Построить явный вид кривой в полярных, канонических и декартовых координатах

 

и сравнить эти кривые.

 

Замечание 1. Исходными данными задачи 1 является кривая, задаваемая своими

 

параметрами, например, полуосями а и b в случае эллипса.

 

Метод (алгоритм) решения задачи основан на анализе свойств инвариантов выбранной кривой в соответствии с уравнением (I) и равенствами (2), (3), а также на переходе от (1) к каноническому виду с учетом (4) — (8).

 

Решением задачи являются коэффициенты алгебраического уравнения (]) §1 кривой второго порядка.

 

Проверка решения. Правильность решения задачи устанавливается в результате совпа­ дения кривых, построенных в общей декартовой, канонической и полярной системах координат.

 

 

Задача 2. Анализ поверхностей второго порядка и их сечений.

 

Пусть задана в пространстве одна из поверхностей второго порядка своим кано­ ническим уравнением в соответствии с табл. 5 из §2.

 

1. Учитывал соотношения, которым удовлетворяют инварианты этой поверх­ ности, т.е. равенства (2), получить алгебраическую форму (1) уравнения выбранной по­ верхности.

 

2. Выполнить (по возможности) переход от полученного алгебраического уравнения к его каноническому эквиваленту, пользуясь техникой выделения полных квадратов и переноса начала координат, либо в общем виде формулами (5) §2.

 

3. Выполнить анализ особенностей этих двух преобразований.

 

4. Построить явный вид этой поверхности в общей декартовой и канонической систе­ мах координат и сравнить эти поверхности.

 

5. Построить сечения выбранной поверхности различными плоскостями (в частности, параллельными координатным плоскостям).

 

Замечание 2. Для задачи 2 анализ выполняется аналогично анализу задачи 1 иззамечания 1.

 

Замечание 3. Для особо хорошо подготовленных студентов может быть такжепоставлена задача поиска пересечения двух (и более!) поверхностей, для каждой из ко­ торых в отдельности решена задача 2.

 

Приложение

 

Международный университет природы, общества и человека "Дубна'

 

Кафедра высшей математики

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

по линейной алгебре и аналитической геометрии

 

на тему:

 

Исследование кривых и поверхностей

 

Второго порядка

 

Студента 102 группы