Идентификация формы закона распределения погрешностей.

Дисциплина: «Метрология, стандартизация и сертификация»

(построение гистограммы ) [1, 119 ;2, 65 ]

Экспериментальные исследования погрешностей средств измерений различных типов показали, что существует много законов распределения погрешностей, причем часто они существенно отличаются от гауссовского. Поскольку знание реального закона распределения необходимо для выбора методики получения оценки измеряемой величины, то в необходимых случаях приходится выбирать закон распределения, в наибольшей мере соответствующей эксперимсентальным данным – идентифицировать форму закона распределения. Исходные данные для выбора закона распределения получают из гистограммы, т.е. экспериментально построенного графика статистического распределения погрешностей.

Пример 1.6. Произвести статистическую обработку ряда наблюдений измеряемой величины X₁; X ₂; X ₃; · · · X _n-1; X _n. Выявить и исключить промахи в результатах наблюдений. Определить значение результата измерения, предполагая отсутствие систематической погрешности, с учетом малого числа измерений одной и той же физической величины (использовать при этом критерий Стъюдента). Определить случайную среднеквадратическую погрешность среднеарифметических значений серии измерений Построить гистограмму результатов наблюдений и высказать гипотезу о предполагаемом законе распределения случайных погрешностей.

Решение:

1.Исключаем из заданного ряда наблюдений грубые ошибки – промахи. Для этого найдём:

а). среднеарифметическое значение (матожидание) результатов наблюдения (1.17)

где n – общее число наблюдений;

б). абсолютные погрешности каждого наблюдения (1.18)

в). среднеквадратическое значение (СКО) одного ряда измерения (1.19)

г).обнаруживаем грубую ошибку (промах) по критерию x_i ≥ 3σ₁ и исключаем этот(и) результат(ы) из ряда измерений.

Примечание: 1. Следует обратить внимание, что критерий 3σ справедлив для заданной доверительной вероятности P = 0,997, если доверительная вероятность P = 0,95,то критерий равен 2σ, а при P = 0,9 − критерий равен 1,65σ.

Если в условии задачи доверительная вероятность не задана, то её следует самостоятельно принять равной 0.997.

2. При выполнении задания значение доверительной вероятности (функции Лапласа) указано для каждого варианта задачи во втором столбце таблицы 3.3, а коэффициент ширины доверительного интервала z выбирается по таблице П.5.1 в ПРИЛОЖЕНИ. Тогда критерий обнаружения промаха будет равен zσ.

д).на основании оставшегося ряда измерений повторно определяем и проверяем на наличие промаха. И так до тех пор, пока не будут исключены все грубые ошибки, при этом каждый раз определяем

2.Из оставшихся результатов наблюдения выстраиваем вариационный ряд, т.е. располагаем результаты в прядке возрастания их значений и выбираем минимальное и максимальное значения – крайние члены вариационного ряда.

3.Разбиваем вариационный ряд на r – число равных интервалов – бинов. Число интервалов r определяется числом измерений n и может быть выбрано на основании табл. №1.2., рекомендованной ВНИИМ [1, 120 ].

Таблица №1.2. 4. Ширина бинов определяется по формуле

, (1.20)

Следует соблюдать некоторую осторожность при выборе ширины бинов для гистограммы. Если бины выбрать слишком широкими, то все (или почти все) отсчеты попадут в один бин и гистограмма выродится в малоинтересный единственный прямоугольник. Если же бины выбраны слишком узкими, то лишь небольшое их число будет содержать более чем один отсчет и гистограмма будет состоять из большого числа узких прямоугольников, почти одинаковой высоты. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение её высоты к основанию примерно было равно 5:8.

Примечание: Рассчитанное значение ширины бинов округляем до целого числа.

5.Определяем границы интервалов между выбранными бинами:

6.Подсчитываем частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i – том интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы

Этим правилом следует руководствоваться, чтобы граничные результаты дважды не попали в соседние бины.

6.Вычисляем частости, представляющих собой статистические оценкивероятностей попадания результатов измерения в i – интервал

(1.21)

где n – общее число наблюдений, оставшихся после исключения “промахов.”

7.Если теперь разделить частости на длину интервала,то получим величины, являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале

(1.22)

Полученные результаты следует свести в следующую табл.№1.3.

Таблица №1.3.

№				Вариац. ряд	Границы бинов	№№ бинов
							m1
						r	mr
n

8.Откладываем вдоль оси абсцисс интервалы в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале строим прямоугольник с высотой равной Полученный график (см. рис.1.5.) называется гистограммой статистического распределения результатов (ошибок) измерения.

Форма полученной гистограммы позволяет сделать вывод о предполагаемом законе распре-деления погрешностей измерения.

По форме гистограммы можно высказать предположение о “нормальном” (“гауссовском”), “равномерном”, “треугольном” или “законе арксинуса”(см.[4], раздел «Другие виды распределения случайных погрешностей»).

9.Определяем среднеквадратическое отклонение среднеарифметических значений серии измерений

Примечание: 1. При построении графика следует указать масштабы по оси абсцисс и оси ординат, а также надписать каждый прямоугольник гистограммы. Масштаб по оси абсцисс это X_min,, ,

т.е. численные значения границ бинов, а по ординате − линейный масштаб, максимальное значение которого выбирается по наибольшему значению , записанному в таб.1.3., при этом десятичный множитель выносится в оглавление оси ординат.

9.По форме гистограммы необходимо высказать гипотезу о предполагаемом закон распределения случайных погрешностей результата измерений.

10.Вычисляем:

(1.23)

где среднеквадратическое отклонение единичного ряда измерений, найденное в пункте д). после исключения всех промахов,

среднеквадратическое отклонение среднеарифметических значений серии k рядов по n измерений одной и той же физической величины,

абсолютная погрешность каждого результата единичного ряда из n измерений.

Примечание: Если бы производили k серий измерений одной и той же величины по n измерений в каждом ряду, то полученные средне-арифметические значения имели бы некоторый разброс относительно матожидания этих среднеарифметических величин. При этом, как показано в теории погрешностей, этот разброс в раз меньше разброса отдельных измерений от среднеарифметического значения единичного ряда измерений.

11.Записываем результат измерения (если n<50) в следующем виде

(1.24)

где коэффициент Стъюдента, зависящий от количества измерений n и заданной доверительной вероятности P, выбирается по таб.№1.4. [3,204] и [1, стр.241] или таб.П.5.3 в ПРИЛОЖЕНИИ.

Таблица №1.4.

Литература.

1. Бурдун Г.Д.,Марков Б.Н. Основы метрологии. Учебное пособие для вузов. − М.: Изд-во стандартов, 1985. (таб.8, стр.241).

2. Дворяшин Б.В. Основы метрологии и радиоизмерения.– М.: Радио и связь,

1993.− 320 с.

3. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А. С. Метрология, стандартизация и технические средства измерений: Учеб. для вузов.− М.: Высш. шк.,2001. − 205 с.

4. Вяселев М.Р., Габсалямов Г.Г., Ермолин В.И., Сухарев А.А., Новошинов Ю.Г. Метрология и технические измерения; Методическое пособие для практических занятий. Казань; Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2008. 176 с.