ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА

 

Проинтегрируем [8, стр. 43] уравнение (2.10) по замкнутой поверхности , в левой части (см. рис. 2.3) и по объему - в правой части уравнения:

 

. (2.16)

 

Уравнение (2.16) отражает смысл теоремы Остроградского-Гаусса:

 

Поток вектора через любую замкнутую поверхность площади равен интегралу от дивергенции вектора по объему , заключенному внутри этой поверхности.

 

 

2.5. ЦИРКУЛШИЯ ВЕКТОРА ПО КОНТУРУ

 

Пусть в некоторой области пространства () задано поле вектора . Построим в этом пространстве воображаемый замкнутый контур , рисунок 2.4:

Рисунок 2.4

 

Спроектируем вектор на элемент длины контура . Из рисунка 2.4 видно, что . Считая условным вектором, указывающим направление "обхода" контура , полу­чаем, согласно правила СКАЛЯРНОГО произведения векторов:

 

, (2.17)

 

Интегрируя (2.17) по замкнутому контуру , имеем

 

(2.18)

 

Выражение (2.18) носит название циркуляции вектора по контуру , [8, стр. 43-46]. Заметим, что по определению, - СКАЛЯР.

 

 

РОТОР ВЕКТОРА

 

Начнем сжимать контур , уменьшая его размеры, к точке " ", (рис. 2.4). Поскольку площадь и периметр контура станут убывать, уменьшится и циркуляция (2.18). При , а их отношение будет стремиться к некоторому ПРЕДЕЛУ

 

, (2.19)

 

который носит название РОТОРА вектора , [8, стр. 46-48].

Наличие в точке " " означает, что в окрестности этой точки существует ПОЛЕ вектора ВИХРЕВОГО типа (рис. 2.5).

Рисунок 2.5

 

 

Ротор вектора считают ПСЕВДОВЕКТОРОМ, направление ко­торого определяется правилом правого винта и зависит от направления обхода контура (см. направление векто­ра на рис. 2.5).

 

Если спроецировать контур на плоскости (), (), () декартовой системы координат (рис. 2.4) можно найти проек­ции вектора на оси .

Согласно (2.18), (2.19) и рисунку 2.4:

 

, (2.20)

 

Вычисление правых частей уравнений (2.20) [8, стр. 46-48], дает следующие значения проекций РОТОРА вектора на координатные оси:

 

, (2.21)

 

Из системы уравнений (2.21) и определения ВЕКТОРА следует, что

 

, (2.22)

 

Для записи функции в операторной форме, перемножим векторно НАБЛА-ОПЕРАТОР (2.22) и вектор

 

. (2.23)

 

По определению векторного произведения

 

.

 

Аналогично:

 

 

.

 

Согласно (2.21):

 

. (2.23)

 

Таким образом, в соответствии с (2.23) и (2.22), получаем выражение для функции в операторной форме:

 

(2.24)

 

 

ТЕОРЕМА СТОКСА

 

По определению РОТОРА вектора , (формула 2.19), цирку­ляция вектора по контуру с площадью (рис. 2.6) оп­ределяется выражением

 

(2.25)

 

Поскольку в данном случае

 

(2.26)

 

величина совпадает с его проекцией на единичную нормаль к элементарной площадке . Величина же имеет смысл элементарного потока вектора через пло­щадки . На основании (2.26) можно также утверждать, что

 

 

где определяется формулой (2.5).

 

Рисунок 2.6

 

Действительно:

 

(2.27)

 

поскольку .

Из (2.25) и (2.27) следует, что

 

. (2.28)

 

"Заполним" контур конечных размеров с площадью (рис. 2.4) набором множества малых контуров с площадями каждый (рис.2.6).

Интегрируя в левой части уравнения (2.28) от 0 до , а в правой части от 0 до , получим:

 

(2.29)

 

Величина С имеет смысл СУММАРНОЙ ЦИРКУЛЯЦИИ вектора по всей элементарным контурам площади , наполняющих контур с пло­щадью . Известно [8, стр. 48-49], что такая циркуляция НЕ ОТЛИ­ЧАЕТСЯ от циркуляции вектора по ПЕРИМЕТРУ КОНТУРА (формула (2.18)). Приравнивая левые части (2.18) и (2.29), имеем:

 

(2.30)

 

Формула (2.30) является математической записью теоремы Стокса [8, стр. 48-49].

Циркуляция вектора по контуру равна потоку векто­ра через произвольную поверхность , огра­ниченную этим контуром.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ по главе 2

 

Некоторые из полученных результатов сведены в итоговую таблицу 2.1, облегчающую ПОНИМАНИЕ и ЗАПОМИНАНИЕ основных положений теории ПОЛЯ, необходимых для овладения программой курса "ОСНОВЫОПТИКИ".

 

Таблица 2.1 – Характеристики наиболее употребляемых функций теории поля

Наимено-вание функции и ее название	Вектор или скаляр	Запись функции в декартовой системе координат	Запись функции в опера­торной форме	Смысл функции
1.   Градиент скалярной функции	ВЕКТОР			Направление векто­ра показыва­ет направление быстрейшего возрастания функции
2.   Диверген-ция вектора	СКАЛЯР			Характеризует наличие источников или "стоков" векторного поля в пространстве
3.   РОТОР вектора	ВЕКТОР			В окрестности лю­бой точки простран­ства, где существует векторное поле вихре­вого типа.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫК ГЛАВЕ 2

 

1. Скалярное произведение векторов.

2. Векторное произведение векторов.

3. Циркуляция вектора по контуру.

4. Поток вектора через элементарную площадку.

5. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона.

6. Смысл функций: ГРАДИЕНТ ДИВЕРГЕНЦИЯ РОТОР.

7. Математическая запись функций градиент, дивергенция, ротор в декартовой системе координат и в векторной форме.

8. Теорема ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА.

9. Теорема СТОКСА.

Глава 3. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА И ПОНЯТИЕ ОБ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЕ [8, с. 99-312], [9]