Лекция 5.
Изучение нумерации чисел
и арифметических действий над числами
1.1. Изучение нумерации целых
неотрицательных чисел
План лекции
1. Характеристика десятичной системы счисления
2. Технологии формирования представлений о числе в различных образовательных системах обучения
3. Технология изучения чисел в концентрах сотня, тысяча и многозначных чисел
1. Характеристика десятичной системы счисления
Системой счисления называют язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры в записи числа зависит от места (позиции), занимаемого ею в этом числе. В непозиционных системах счисления такой зависимости нет.
Способ чтения и записи чисел называют нумерацией. Различают два вида нумерации – устную и письменную.
Многие позиционные системы счисления имеют только письменную нумерацию и не имеют устной нумерации. Название системе счисления дают по отношению между разрядами. Если две (три, четыре и т. д.) единицы одного разряда дают одну единицу следующего разряда, то систему счисления называют двоичной (троичной, четверичной и т. д.).
Изучение математики в начальных классах строится на изучении десятичной системы счисления, в которой 10 единиц одного разряда дают 1 единицу следующего (разряды нумеруют справа налево).
В соответствии с образовательным стандартом предусматривается знакомство детей и с римской непозиционной нумерацией.
Рассмотрим общие положения, на которых базируется устная и письменная нумерация позиционной десятичной системы счисления.
В основу устной нумерации положены следующие принципы.
Принцип поразрядного счета
Назвать какое-то натуральное число – это тоже, что назвать результат счета предметов по одному. Присваивая определенному количеству единиц название (одна, две, три, … девять), получим девять числительных. Если не воспользоваться принципом поразрядного счета – одним из величайших достижений математики, то для пересчета множества предметов с большой численностью потребуется придумать много числительных. Изложим основные его положения.
Множество большой численности удобно считать не единицами, а группами. В десятичной системе счисления за единицу I-ой группы счета берут единицу, за единицу II-ой группы счета – 10 единиц первой группы счета, за единицу III-ей группы – 10 единиц второй группы счета и т.д. Каждой группе счета дается название. Первой – единица, второй – десяток, третьей – сотня и т.д. Каждая группа счета, начиная со второй, образует разрядные числа, названия которых образуются путем слияния названия числа счетных единиц той или иной группы счета (их не более 9-ти) с добавлением названия группы счета. В результате получаются сложные числительные: двадцать, тридцать, пятьдесят, … или двести, триста, четыреста, …. В начальных классах эти числа называют круглыми.
С помощью этого принципа число различных слов, нужных для названия чисел отрезка натурального ряда чисел от 1 до 999 сокращается до 13 (это слова один, два,..., девять, десять, сорок, девяносто, сто).
| Единица счета | Запись разрядной единицы счета | Разрядные числа |
| единица десяток сотня … | 100... | 1, 2, 3, 4, …, 9 10, 20, 30, …, 90 100, 200, 300, … |
Чтобы назвать какое-либо число на основании принципа поразрядного счета, нужно назвать слева направо разрядные числа, содержащиеся в этом числе.
Например, 457 – четыреста пятьдесят семь (457 равно 400 и еще 50 и еще 7) или 457 = 400 + 50 + 7. Последнюю запись называют суммой разрядных слагаемых.
Чтобы называть числа большие, чем 999 используют еще один принцип: принцип поклассового объединения разрядов.
Согласно этому принципу каждые три разряда, начиная с первого, справа налево объединяются в класс. Каждому классу дается название: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и др. Разрядам, входящим в класс, присваивается название класса: разряд единиц тысяч, разряд десятков тысяч, разряд сотен тысяч и др. Заметим, что при названии разрядов, входящих в класс единиц, название класса опускается.
Чтобы прочитать число большее трехзначного, достаточно разбить его справа налево на классы, объединяя по три цифры в класс; прочитать число в каждом классе по правилу чтения трехзначных чисел и добавить название класса. Название класса единиц принято не произносить. Если единицы в каком-нибудь классе отсутствуют (этот класс при написании числа обозначен нулями), то название этого класса при чтении опускается. Например, 123 000 506 – сто двадцать три миллиона пятьсот шесть.
Письменная нумерация. В десятичной системе счисления для записи чисел используют десять знаков: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Знаки для записи чисел называют цифрами.
Разряд– место для записи цифр в числе. Каждый разряд имеет свое название. Название разрядов совпадает с названием единиц счета – разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Кроме того, разрядам дают названия, совпадающие с номером места, занимаемого разрядом в записи числа. Разряды нумеруют справа налево, 1-ый разряд – разряд единиц; 2-ой разряд – разряд десятков; 3-ий разряд – разряд сотен, 4-ый разряд – разряд единиц тысяч и т. д.
Запись чисел ведется на основе принципа поместного значения цифр: значение цифры зависит от места, занимаемого этой цифрой в записи числа. Например, в записи числа 848 первая справа цифра 8 означает восемь единиц в первом разряде или, что в разряде единиц будет 8 единиц, а третья справа 8 означает, что и в разряде сотен будет 8 единиц третьего разряда. В соответствии с этим принципом формируется умение записывать число, сначала трехзначное, затем многозначное.
Чтобы записать число «триста двадцать один» нужно выполнить ряд операций.
1. Определить, сколько разрядов будет в числе. (В числе «триста двадцать один» первое разрядное число триста или три сотни, значит, старший разряд в числе – разряд сотен и число будет трехзначным).
2. Определить, сколько единиц будет в каждом разряде. Триста – значит в третьем разряде – разряде сотен будет 3 сотни или 3 единицы третьего разряда. Следующее разрядное число двадцать – значит, во втором разряде, в разряде десятков будет 2 единицы второго разряда или 2 сотни и, соответственно, в первом разряде будет 1 единица первого разряда. Записываем единицы в каждом разряде слева направо.
3. Многозначные числа записывают по классам, начиная с высшего класса. В каждом классе записывается трехзначное число по правилу записи трехзначных чисел. Один класс от другого отделяется небольшим промежутком – 123 654.
В устной нумерации для обозначения разрядов или классов, не содержащих ни одной единицы, особые слова не требуются, ибо названия этих разрядных единиц просто опускаются. В письменной нумерации на месте отсутствующих единиц в каком-либо разряде или классе ставится цифра 0. Ноль в записи числа сохраняет разряд.
2. Технологии формирования представлений о числе
в различных образовательных системах обучения
В «Примерной программе по математике» [62], составленной в соответствие со стандартом второго поколения подчеркивается, что дети должны научиться:
- читать, записывать, сравнивать, упорядочивать числа от нуля до миллиона;
- устанавливать закономерность – правило, по которому составлена числовая последовательность, и составлять последовательность по заданному или самостоятельно выбранному правилу (увеличение / уменьшение числа на несколько единиц, увеличение / уменьшение числа в несколько раз);
- группировать числа по заданному или самостоятельно установленному признаку.
Выпускник получит возможность научиться:
- классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;
- выбирать единицу для измерения данной величины (длины, массы, площади, времени), объяснять свои действия.
Понятие числа и вопросы нумерации чисел являются основополагающими в курсе математики начальных классов. Построение всего курса математики зависит от того, какой математический подход к определению числа положен в основу формирования данного понятия.
В математике существует три подхода к определению понятия «число».
1. Теоретико-множественный. Согласно данному подходу, число – это общее свойство эквивалентных между собой, непустых множеств. (Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие называют эквивалентными и соответственно – равночисленными).
2. При аксиоматическом подходе натуральное число трактуется как элемент множества, на котором установлено отношение «непосредственно следовать за …», удовлетворяющее четырем аксиомам Пеано и которое называют рядом натуральных чисел. Аксиомы Пеано упорядочивают ряд натуральных чисел.
3. В третьем подходе число вводится через измерение величин, а именно число характеризуется как отношение некоторой величины к его мерке.
В существующих образовательных технологиях в адаптированном к возрасту виде используются все три подхода к трактовке понятия «натуральное число», но, как правило, превалирует (выбирается в качестве основного, исходного) первый или третий. Это связано с тем, что эти два подхода могут быть усвоены детьми через освоение доступных для возраста практических операций счета или измерения и логических операций сравнения и выделения общего признака у групп равномощных множеств. Второй подход – аксиоматический – дополняет вышеназванные подходы, поскольку он позволяет упорядочить ряд натуральных чисел и познакомить детей с его свойствами. Без осознания этих свойств, не могут быть усвоены и практические операции по пересчету или измерению.
В большей части существующих образовательных систем обучения в качестве основного используется первый – теоретико-множественный подход к определению натурального числа.
Рассмотрим логическое построение учебного материала в технологиях, использующих теоретико-множественный подход к изучению понятия числа.
В курсе математики начальных классов нумерация целых неотрицательных чисел изучается по концентрам. В большей части образовательных программ выделяют следующие концентры.
1. «Числа от 1 до 10 и число 0».
2. «Числа от 1 до 100», в котором выделяются два этапа: «Числа от 1 до 20» и «Числа от 21 до 100».
3. «Числа от 1 до 1000».
4. «Многозначные числа».
Такая спиралевидная последовательность изучения темы обусловлена тем, что в каждом следующем концентре используются все положения, определяющие нумерацию чисел в предыдущем концентре и вводятся новые понятия, позволяющие расширить понятие о натуральном числе.
Рассмотрим содержание и последовательность изучения нумерации в концентре «Десяток».
Дочисловая деятельность направлена на выработку умений: выделять признаки у отдельных предметов и групп предметов, сравнивать предметы и группы предметов по указанному признаку, устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами групп.
Таблица 2
| Десяток или числа от 1 до 10 | Сотня или числа от 1 до 100 | Тысяча или числа от 1 до 1000 | Многозначные числа или числа большие | |
| Числа от 1 до 20 | Числа от 21 до 100 | |||
| Число, цифра, ряд натуральных чисел и его свойства, следующее, последующее и предыдущее число, особенности числа ноль. Операция счета, количественный и порядковый счет. Сравнение чисел. | Образование и десятичный состав чисел от 11 до 20 | Счетные единицы: единица, десяток. Разряд десятков. Разрядные числа: десять, двадцать, тридцать, девяносто. Сравнение чисел, в пределах 100 | Принципы устной и письменной нумерации. Счетная единица – сотня, счет сотнями, разрядный состав трехзначных чисел. Сравнение чисел в пределах 1000 | Счетная единица – тысяча, счет тысячами, разрядный состав чисел. Класс. Принципы устной и письменной нумерации. Сравнение многозначных чисел. |
Кроме того, дети упражняются в последовательном назывании слов числительных от 1 до 10 и обратно. Отработка этих умений позволяет сформировать представление о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).
После такой подготовки формируется представление о числе как общем свойстве групп предметов, которое может быть зафиксировано в слове (числительном) и с помощью знака – цифры.
Определение натурального числа задает следующую логику в выполнении упражнений.
Предлагается сравнить две группы предметов (три звездочки и три кружка). При сравнении дети подводятся к выводу, что эти две группы предметов имеют одинаковый признак – число предметов в группе.
Предлагается назвать этот признак числом три, а затем дети знакомятся с символической записью числа три – цифрой 3.
Закрепление понятия числа можно осуществить через следующую совокупность заданий.
– Установление общего признака у групп предметов и обозначение этого признака числом.
– По заданному числу образовать (нарисовать, выложить на наборном полотне) группы предметов, обладающие этим признаком.
– Из заданной совокупности групп предметов разной природы выбрать группы предметов, обладающие общим признаком, например, «иметь три предмета».
– Совокупность групп предметов разной природы разбить на классы так, чтобы в каждом классе группы предметов имели одинаковое число предметов, обозначить это число соответствующей цифрой.
– Установить соответствие между числом предметов в группе и цифрой, обозначающее число предметов в группе.
Возможны и другие задания. Наиболее полно и последовательно эта совокупность заданий представлена в технологии Н.Б. Истоминой [36].
Понятие «число» формируется в тесной взаимосвязи с понятием «ряд натуральных чисел».
Ряд натуральных чисел подчиняется правилам, которые отмечены в аксиомах Пеано. Три первых аксиомы задают принцип построения ряда натуральных чисел. В адаптированном к возрасту виде они сводятся к следующим положениям.
– Единица – самое меньшее натуральное число. Ряд натуральных чисел начинается с единицы.
– Ряд натуральных чисел бесконечен. Для каждого числа найдется единственное непосредственно следующее (последующее) число, которое на единицу больше данного.
– Каждое натуральное число непосредственно следует только за одним натуральным числом, т.е. для каждого натурального числа найдется одно непосредственно предшествующее ему, и оно на единицу меньше данного.
Усваивая эти свойства, дети знакомятся с еще одним способом получения числа, путем присоединения одного предмета к ранее изученному количеству предметов, и затем полученному количеству предметов ставится в соответствие последующее число, т.е. то число, которое на данный момент вводится. Данный прием превалирует в учебниках математики в следующих образовательных системах: «Школа России» [61], «Школа 2100» [54].
Знакомство с числами сопровождается усвоением практического действия по пересчету предметов и установлению количественной характеристики группы (множества) предметов.
Счет – практическое действие по установлению взаимно-однозначного соответствия между элементами множества и отрезком ряда натуральных чисел, при котором:
– каждому элементу данного множества ставится в соответствие единственное натуральное число;
– каждый элемент второго множества является образом единственного элемента первого множества.
Из анализа определения вытекает следующее правило пересчета, с которым дети знакомятся через совокупность целесообразно подобранных заданий.
– Счет предметов начинают с числа 1.
– При счете нельзя пропускать ни одного элемента.
– Каждый элемент при счете надо посчитать только один раз.
В процессе пересчета предметов, осуществляется упорядочивание предметов в пересчитываемой группе предметов с помощью порядковыхчислительных: первый, второй, третий и т.д. Последнее порядковое числительное указывает на количество предметов в пересчитываемом множестве. При пересчете предметов используются порядковые числительные, которые позволяют ответить на вопрос: «Который по счету предмет назван?» и «Сколько предметов пересчитали?».
Количественные числительные указывают на результат пересчета, т.е. позволяют ответить на вопрос: «Сколько предметов пересчитали?» или «Сколько предметов в пересчитываемой группе предметов?». В этом проявляется связь между количественными и порядковыми числительными, которую должны осознавать дети, усваивая операцию счета. Следует заметить, что порядковое числительное дает большую информацию, чем количественное.
Сравнить числа – значит, сравнить их по количеству, которое они характеризуют. Стандарт предусматривает формирование умения сравнивать числа по количественной характеристике, записывать и читать модель их сравнения.
3 < 4 (читаем: 3 меньше 4-х или 4 больше 3-х)
При уяснении смысла сравнения можно опираться на различные математические положения.
1. На количественную модель сравниваемых чисел.
 |
2. На свойство упорядоченности множества натуральных чисел, т.е. на порядок называния чисел при счете (3 < 4, потому что 3 называем при счете раньше, чем 4).
3. На свойства ряда натуральных чисел (число 3 стоит в ряду чисел перед числом 4, следовательно, 3 < 4).
4. На закономерность построения числового луча (число 3 на луче расположено ближе к началу, чем 4, следовательно, 3 < 4).
5. На состав числа (3 < 4, т.к. 4 это 3 да 1).
Состав однозначных чисел. Состав числа подразумевает представление числа в виде двух чисел, значение суммы которых равно данному числу. Состав однозначных чисел подразумевает обучение ребенка умению представлять однозначное число в виде двух чисел. Впервые с составом числа дети знакомятся, присчитывая единицу к заданному числу, т.е. на этапе образования числа последующего для данного. Дальнейшее свое развитие эта тема находит в следующих упражнениях.
1. Представление состава числа на вещественной модели.
2. Представление состава числа на графической модели (числовое лото).
3. Представление состава числа на схематической модели.
4. Представление состава числа на символической или математической модели (4 = 3 + 1).
Состав чисел изучается путем перехода от одной модели к другой. Знание детьми состава чисел есть основа для усвоения табличных случаев сложения и вычитания однозначных чисел.
Особенности числа «ноль». «Ноль» вводится как количественная характеристика пустого множества. Опираясь на имеющиеся представления детей, на выполнение детьми практических действий, которые затем переводятся в символическую модель вида 3 + 0 = 3, исследуются свойства числа «ноль», описанные в аксиомах Пеано. Устанавливается, что число «ноль» не следует ни за одним натуральным числом, его место перед самым меньшим натуральным числом «единица».
В теме «Первый десяток» предусмотрено знакомство с числом 10.
В данной теме число «десять» рассматривается как новое число в ряду натуральных чисел, которое следует за числом «девять» и подчиняется принципу построения ряда натуральных чисел, т.е. оно на единицу больше числа «девять». Кроме того, число «десять» рассматривается как первое число, для записи которого используют две цифры, и как новая счетная единица. На этом этапе знакомства с числом 10 детям предлагается счет предметов десятками (один десяток, два десятка, три десятка и т.д.), то есть счет без называния самих числительных «двадцать», «тридцать» и т.д.
Рассмотрим, какова последовательность изучения и система упражнений, которая используется в альтернативных образовательных системах.
Формирование понятия «число» в программе М.И. Моро и др. [61].
Изучение понятия «число» по данной программе осуществляется в следующей последовательности.
1. Дается задание на запоминание порядка чисел при счете. При этом практикуется прямой и обратный счет.
2. Вводится понятие порядковый и количественный счет, а так же идет ознакомление с правилами пересчета предметов.
3. Сравнение совокупностей предметов путем установления взаимно-однозначного соответствия и выражение результата сравнения словами «больше», «меньше», «столько же», позднее – «на сколько больше», «на сколько меньше».
4. Выделение общего признака группы предметов одной численности (одинаковое число предметов) и обозначение численности на графической модели.
5. Знакомство с числами от 1 до 10 по следующей схеме.
– Образование числа из предыдущего и единицы, последующего без единицы. Это действие выполняется на различных моделях: вещественной, графической, путем рассмотрения жизненных ситуаций.
– Вводится устная и письменная нумерация чисел. На данном этапе вводится печатная цифра, прописная цифра вводится по данной программе гораздо позже.
– Устанавливается количественное отношение данного числа с предшествующим и последующим. Эти отношения не фиксируются в символической записи, т.е. дети устанавливают, что изучаемое число, например, 3 больше 2-х на единицу, но знак сравнения не вводится.
– Изучаются порядковые отношения данного числа с предшествующими и последующими числами. Определяется место данного числа в ряду натуральных чисел. Идет сопоставление количественного и порядкового отношения.
Примечание: на одном уроке рассматривается по два числа, устная и письменная нумерации рассматриваются раздельно и в большом отрыве, знак сравнения не вводится.
Для данной программы наиболее типичными являются следующие упражнения.
1. На способ образования каждого последующего числа путем присчитывания единицы к предыдущему. (Как из числа 3 получить число 4?)
2. На определение места числа в ряду натуральных чисел. (Назови, какие числа следуют в ряду за числом 4 и т.п.)
3. На сравнение чисел (Сравни числа 3 и 4).
4. На состав числа (Из каких чисел можно составить число 4 и т.п.).
5. На запоминание прямой и обратной последовательности чисел в ряду чисел. (Виды заданий: «назови числа от 1 до 5»; «вставь пропущенное число»; «назови самое маленькое число в ряду натуральных чисел» и т.п.).
Последовательность изучения понятия «число» в методике Н.Б. Истоминой [36].
Н.Б. Истомина считает, что, поступая в первый класс, дети имеют представление о числе, но оно выступает для них только как наглядный образ. Дети не могут выделить один предмет, как счетную единицу, умеют ответить на вопрос «сколько?», не владея операцией счета. Количественная характеристика числа осознается ребенком в процессе установления взаимно-однозначного соответствия между предметными множествами и находит свое выражение в понятии «столько же», «больше», «меньше» и т.д. Для отработки необходимых понятий она предлагает следующую совокупность упражнений.
1. Умение выделять признак предметов и выполнять операцию сравнения, классифицировать предметы по заданному одному или двум признакам.
2. Умение устанавливать взаимно-однозначное соответствие между предметными совокупностями. При этом в речи используются слова «столько же», «больше, чем …», «меньше, чем …». Широко используются приемы: наложение предметов одного множества на предметы второго; расположение предметов одного множества под предметами другого множества, образование пар из предметов первого и второго множеств путем соединения предметов одного множества с предметами другого множества.
3. Умение устанавливать взаимно-однозначные соответствия между предметными совокупностями и совокупностями слов числительных. При этом операция счета сводится к нумерации объектов в определенной последовательности. В учебнике предложена система упражнений, которая наряду с формированием операции счета и уточнения порядка слов числительных, позволяет развивать, совершенствовать логические операции. В основном используется прием сравнения графически представленных предметов по признаку количества.
4. Знакомство учащихся с символическим обозначением числа, т.е. цифрой. В отличие от других программ обучения Н.Б. Истомина предлагает при знакомстве с цифрами не ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду. Можно начинать знакомство с любой цифры, группировать по сходству написания. Она предлагает вводить первой группу цифр 1, 4, 7. Такое разделение она обосновывает тем, что в этом случае дети лучше учатся различать понятие «число» как количественную характеристику множества и «цифра» как символ для записи числа. С этой целью уже на этом этапе дети знакомятся с римской нумерацией.
5. Знакомство с порядковым счетом. Особое внимание уделяется осознанию детьми того факта, что каждое число, названное при счете, является одновременно порядковым, т.к. указывает на порядок предметов при счете. В то же время оно является количественным, т.к. указывает на количество всех перечисленных предметов. Например: дается 4 кружка разного цвета. Детям предлагается пересчитать эти кружки в разном порядке. Дети устанавливают, сколько всего кругов, какой кружок может быть по счету четвертым, третьим. При этом рассматриваются разные комбинации пересчета. Делается вывод, что количество кружков не меняется, а порядок или место каждого кружка зависит от порядка счета.
6. Отработка правил пересчета предметов, которые сводятся к следующим положениям:
– первым при счете может быть указан любой объект данной совокупности, важно, чтобы ему соответствовало числительное 1;
– ни одному объекту нельзя поставить в соответствие два слова числительных;
– ни один объект не должен быть пропущен при счете.
Сравнивая два подхода к формированию понятия числа можно сделать вывод о том, что в первом случае преимущество отдается способу получения числа путем присоединения одного предмета к ранее изученному количеству предметов (прибавлением единицы к ранее изученному числу), т.е. количественная характеристика числа определяется местом числа в ряду натуральных чисел.
Во втором случае упор делается на формирование представления о натуральном числе как общем свойстве равномощных групп предметов (множеств).
Эти различия еще ярче выступают при рассмотрении особенностей ознакомления с понятием «отрезок ряда натуральных чисел». Так в учебниках образовательной системы «Школа России» [61] «ряд натуральных чисел» появляется постепенно вместе с изучением каждого числа и цифры, обозначающей это число. Последовательно рассматриваются отрезки ряда чисел: 1) 1, 2, затем, 2) 1, 2, 3 и 3) 1, 2, 3, 4 и т.д.
При изучении каждого отрезка ряда выполняются однотипные упражнения, например: «Положите 2 круга, придвиньте к ним еще 1 круг. Сколько кругов станет?» Дети, присчитывая, получают число «три». Записывается способ получения числа «три» с помощью символической записи 2 + 1 = 3 (соответственно со знаком «–» 4 – 1 = 3). Далее сравнивается число «два» с числом «три», число «три» с числом «четыре» (в новых изданиях учебника знак сравнения не вводится). Затем, определяется место этого числа в ряду. В результате выполнения таких упражнений при изучении постепенно увеличивающихся отрезков ряда натуральных чисел, по мнению автора, дети убеждаются в том, что числа упорядочены по величине «количество». Получая последующее число, дети знакомятся с соответствующей цифрой, т.е. идет одновременное знакомство с числом и цифрой, его обозначающей.
В методике Н.Б. Истоминой [36] для введения понятия «отрезок ряда натуральных чисел» используется другой подход. Натуральный ряд чисел появляется после изучения детьми однозначных чисел и цифр, с помощью которых они записываются. Например, детям предлагается пересчитать слоников и записать числа, которые они называют при счете. Сам ряд натуральных чисел воспринимается детьми как ряд, с помощью которого можно посчитать предметы, слово «натуральный» не вводится. Затем выясняется, как получилось каждое следующее число, вводятся термины «предыдущее», «последующее число», «следует за числом», «предшествует числу», и через систему упражнений отрабатывается принцип получения каждого последующего и предыдущего числа.
На наш взгляд, в данных программах действительно имеют место существенные различия в методике введения понятий. Первая программа вводит понятие «отрезок ряда натуральных чисел» индуктивным путем, а вторая – дедуктивным путем. Обе они имеют право на существование, а предложенная в учебниках система упражнений вполне обеспечивает осознание детьми принципа построения ряда натуральных чисел.
Ведущим методом при изучении понятия «натуральное число в пределах 10-ти» является практический метод, который предполагает организацию активной практической деятельности каждого ребенка, направленной на усвоение определенных способов действия с конкретными предметами, а так же с их заменителями. Значительное место должно отводиться к подводящему диалогу, который состоит из системы вопросов и ответов, образцы, которых должен задавать учитель. Как показывает практика, успех усвоения этой темы зависит от того, насколько логично учитель выстраивает систему вопросов и заданий, раскрывающих сущность формируемых понятий, и насколько при этом учитываются индивидуальные особенности ребенка, в том числе и его предшкольная подготовка.
3. Технология изучения чисел в концентрах сотня,
тысяча и многозначных чисел
Существующие программы и системы обучения отличаются подходами к изучению данной содержательной линии, последовательностью введения отдельных понятий, системой упражнений, обеспечивающей знакомство с вводимыми понятиями и их осознанное усвоение, используемой терминологией, методами организации познавательной деятельности детей и границей изучаемого отрезка ряда натуральных чисел.
На наш взгляд, изучение данной содержательной линии в каждом из следующих концентров: «Числа от 1 до 100», «Числа от 1 до 1000», «Многозначные числа» полезно рассматривать по следующему плану.
1. Введение новой счетной единицы – десяток (сотня, тысяча), ее название, формы графической модели.
2. Запись новой счетной единицы с помощью цифр 1и 0 (10; 100; 1000), введение понятия «разряд» (класс) и название разряда (класса), уяснение роли цифры, в том числе и цифры «ноль» в записи числа. (Цифра ноль в записи числа сохраняет разряд)
3. Знакомство с разрядными числами, входящими в изучаемый числовой концентр. Их название, запись и последовательность расположения в ряду чисел.
4. Установление взаимно-однозначного соответствия между различными моделями разрядных чисел (вещественной и символической; графической и символической, символической и графической и т.д.), а также разными формами символической записи чисел..
5. Сравнение, сложение и вычитание разрядных чисел (50 > 40; 60 – 20 = 40).
6. Образование двузначного, трехзначного, … многозначного числа путем перехода от вещественной модели к графической и обратно, затем к различным формам символической записи чисел:
– через перечень количества счетных единиц (2с. и 3дес. и еще 1ед. или короче: 2с.3дес.1ед.);
– с помощью суммы разрядных слагаемых (200 + 30 + 1);
– краткой символической записи числа (231).
7. Чтение и запись этих чисел в разрядной таблице и без нее.
8. Сравнение чисел. В каждом из концентров дополнительно к изученным правилам сравнения чисел водятся новые правила. Например, в концентре сотня вводится следующее правило сравнения двузначных чисел. «Любое однозначное число меньше любого двузначного. Сравнение двузначных чисел начинаем с единиц старшего разряда – разряда десятков. Из двух двухзначных чисел, то больше, в котором больше единиц в разряде десятков. Если число единиц в разряде десятков одинаково, то сравниваем число единиц в следующем меньшем разряде – разряде единиц. То число больше, в котором в разряде единиц будет больше единиц» (85 > 84; 4 < 14).
9. Упражнения на сложение и вычитание, базирующиеся на принципе построения ряда натуральных чисел (230 – 1, 549 + 1, 600 – 1, 599 + 1).
При изучении нумерации чисел в каждом концентре учащиеся знакомятся с характеристикой числа. Характеризуя то или иное натуральное число, дети могут пользоваться следующим планом.
1. Прочитать число 735. (Читаю – семьсот тридцать пять.)
2. Представить число в виде суммы разрядных слагаемых (735 = 700 + 30 + 5).
3. Указать, сколько в нем счетных единиц каждого рода. (В этом числе 7 полных сотен, 75 полных десятков или 735 единиц.)
4. Назвать число единиц в каждом разряде числа. (В этом числе в разряде сотен 7 единиц, в разряде десятков 3 единицы и в разряде единиц 5 единиц.)
5. Назвать непосредственно следующее и непосредственно предшествующее число для данного числа (соседей числа). Для числа 735 непосредственно предыдущим является число 734 и непосредственно следующим – 736.
Рассмотрим подход к изучению нумерации чисел, который нашел отражение в учебниках по математике в УМК «Школа России» [61].
Работа, целью которой является формирование представления о десятичной системе счисления, начинается в концентре «Сотня». Здесь выделяются две ступени: сначала изучается нумерация чисел 11-20, а затем 21-100. Выделение первой ступени (11-20) объясняется тем, что в названии каждого числа второго десятка наблюдается одна закономерность, а в записи другая. Так, называя число, мы произносим сначала количество единиц, а затем десятков. Например: один-на-дцать, три-на-дцать и т.д. Записывая число, сначала пишем цифру 1, обозначающую единицу в разряде десятков, а затем цифру, обозначающую единицы в разряде единиц. В двузначных числах второй ступени сначала называют, начиная слева направо, первое разрядное слагаемое, а затем второе (25 – двадцать пять). В каждой ступени сначала изучается устная нумерация, т.е. дети усваивают названия чисел, а затем письменная.
Изучение устной нумерации чисел второго десятка начинается с формирования у детей представления о новой счетной единице – «десятке». Отсчитывая по десять палочек и завязывая их в пучки, учащиеся узнают, что десять единиц образуют одну единицу следующего разряда – «десяток». Затем, выполняя упражнения в счете десятков палочек, сложении и вычитании десятков с использованием пучков палочек, дети убеждаются, что десятки можно считать, складывать и вычитать, как простые единицы (2дес. +1 дес. = 3 дес.).
Одновременно ведется работа, связанная с усвоением свойств натурального ряда чисел (см. как это сделано в концентре десяток).
При изучении письменной нумерации используют абак – таблицу с двумя рядами карманов: один ряд – для палочек, другой – для разрезных цифр.
Опираясь на наглядные пособия, учащиеся знакомятся со случаями сложения и вычитания вида: 10 + 5, 15 – 5, 15 – 10.
Изучение нумерации чисел 21-100 осуществляется по тому же плану: сначала устная нумерация, затем письменная. Одновременно ведется работа, связанная с усвоением принципа построения натурального ряда чисел и сравнение чисел.
Дальнейшее изучение нумерации продолжается в концентре «Тысяча».
Особенности десятичной системы счисления позволяют младшим школьникам осуществить перенос умения читать и записывать двузначные числа на область трехзначных чисел.
Появление нового разряда – разряда сотен связывается с введением новой счетной единицы – «сотни».
Для этой цели используются те же приемы, которые имели место при разъяснении понятия «десяток», т.е. десять палочек связываются в пучок, получаем десяток. Если же 10 таких пучков объединить вместе, получим сотню (100). Усвоив, что «сотни» пишутся на третьем месте справа, дети сначала учатся называть круглые сотни (сто, двести, триста и т. д.). Затем, ориентируясь на названия разрядов (единицы, десятки и сотни), овладе