1. СКО от средней арифметической меньше СКО от любой величины
.
Это свойство минимальности СКО.
2. Если все варианты увеличить или уменьшить на одно и тоже число а, то СКО (дисперсия) не изменится.
, .
.
3. Если все варианты увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз b, то СКО увеличится или уменьшится в b раз, а дисперсия в раз.
, .
.
4. Если все веса СКО увеличить или уменьшить в k раз, то СКО (дисперсия) не изменится
Если – сумма всех частей, то можно определить СКО с помощью относительных величин структуры:
, если , .
Методы вычисления дисперсии (СКО).
1. Метод вычисления СКО по преобразованной формуле.
– средний квадрат значения признака или среднее арифметическое из квадратов.
Группы работников по статусу работы, лет | Число работников | хi | ximi | ||
До 4 | |||||
4 -8 | 36*5 = 180 | ||||
8 – 12 | 100*12 = 1200 | ||||
12 – 16 | |||||
16 – 20 | |||||
20 и более | |||||
ИТОГО | Х | Х |
.
2. Вычисление дисперсии и СКО методом моментов.
Метод моментов основан на 2-м и 3-м свойствах СКО и упрощает вычисление СКО.
,
,
В качестве а используют:
· при нечётном числе групп – середину средней группы;
· при чётном – любое из середин 2-х средних групп.
b – величина интервала.
Группы работников по статусу работы, лет | Число работников | хi | yimi | ||
До 4 | - 2 | - 4 | |||
4 -8 | -1 | - 5 | |||
8 – 12 | |||||
12 – 16 | |||||
16 – 20 | |||||
20 и более | |||||
ИТОГО | Х | Х |
.
3. Вычисление СКО альтернативного признака.
Альтернативный признак – признак, значением которого единицы изучаемой совокупности могут обладать или не обладать.
Например, наличие и не наличие бракованной продукции. Наличие признака обозначают 1, а его отсутствие – 0. Следовательно, альтернативный признак может принимать одно из 2-х значений 1или 0. Вариация альтернативного признака количественно проявляется в значении нуля у единиц, которые этим признаком не обладают, или единицы у тех, которые данный признак имеют. Долю единиц совокупности обладающих значением признака равным 1 обозначают ; долю единиц, не обладающих данным признаком – q. Причём .
p | q |
Среднее значение альтернативного признака равно:
.
Т.е. средней величиной альтернативного признака является доля единиц этого признака.
Дисперсия альтернативного признака определяется по формуле:
.
.
Максимальное значение дисперсия альтернативного признака принимает при ; ; .
Показатели вариации альтернативных признаков широко используются в статистике, в частности при проектировании выборочного наблюдения, обработке данных социологических обследований, статистическом контроле качества продукции и т.д.
Пример: Определим дисперсию и СКО доли организаций, имеющих финансовые нарушения, если проверено 86 организаций и в 37 обнаружены нарушения.
n = 86, m = 37.
, q= 1-0,43 = 0,57.
Следовательно, дисперсия и СКО доли организаций, имеющих финансовые нарушения равны:
;
.